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高等数学测试（第二章）
一．选择题（每小题２分，共20分）

1．设函数110()102xxxfxx 在0x处（ ） A．不连续B．连续但不可导C．可导D．可微

2．设函数()ln2fxxx在0x处可导，且0()2fx，则0()fx等于（ ）A．1 B．2e C．2e D．e
3．设函数()fx在点xa处可导，则0()()limxfaxfaxx等于（ ）
A．0 B．()fa C．2()fa D．(2)fa
4．设xxxf11，xxgln)(，则[()]fgx （ ）

A．2)1(1x B．2)1(1x C．1xx D．22)1(xx
5．设函数)(xf在),(内可导，则下列结论中正确的是 （ ）
A．若)(xf为周期函数，则)(xf也是周期函数
B．若)(xf为单调增加函数，则)(xf也是单调增加函数
C．若)(xf为偶函数，则)(xf也是偶函数
D．若)(xf为奇函数，则)(xf也是奇函数
6．设)(xf可导，则下列不成立的是 （ ）
A．)0()0()(lim0fxfxfx B．)()()2(lim0afhafhafh

C．)()()(lim0000xfxxxfxfx D．)(2)()(lim0000xfxxxfxxfx
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7．若)(xf可导，)(cosln)(xfxF，则()Fx （ ）
A．)(cossin)(cosxfxxf B．)(cossin)(cosxfxxf C．)(sincos)(sinxfxxf D．)(sincos)(sinxfxxf
8．设函数)()()(xgaxxf，3)(limxgax，则 （ ）
A．0)(af B．2)(af C．3)(af D． )(af不存在
9．设0()fxxx在连续，且00()limxxfxAxx(A为常数)，则0()fx（ ）A．A ；B．2A； C．3A； D．4A

10． 31logdxx（ ）A．3ln12x B．xdxx32log1 C．3ln1x D．dxxx3lnln12
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）设方程332eyxyx确定y为x的函数，则0xdy________________．

12．（3分）设函数()xfxxe，则(0)f=________________.
13．（3分）设函数()fx在0x处可导，且0()fx=0，0()fx=1，则01lim()nnfxn=________________.

14．（3分）曲线4lnxtyt在点（0,1）处法线方程为________________.
15．（3分）33,xyx，则(4)0___________xy．
三．计算题（共55分）

16.（5分）若sin1,0,()4,0,axxfxxbx且

(0)f存在，求,.ab
17. （5分）设23212xxyxx，求y.
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18. （5分） 设1(1)xyx，求dy.
19.（5分） 设xfxeefy，其中xf存在，求
y

.

20. （5分）设2ln(1)yxx，求y.
21. （5分） 设22arctanln,.yxyx求dy

22. （5分）求曲线 sincos2xtyt 在 6t 处的
切线方程和法线方程.

23.（5分）求由方程 1sin02xyy所确定的隐函

数y的二阶导数22dydx.
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24.（7分）设函数212()12xxfxaxbx ，适当选择,ab的值，使得()fx在12x处可导.
25.（8分）若22)()(xxxfxfy，其中 ()fx为可微函数，求dy.
四.证明题（共10分）
26.（10分）设xf在点0x处连续，且Axxfx0lim(A为常数)，证明xf在点0x处可导.
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答案：
一.选择题1—5 BBCCA 6—10BBCAD

二.填空题11. dxe31； 12.2； 13.1； 14. 141xy ；15. 43ln .
三.计算题

16.若sin1,0,()4,0,axxfxxbx且(0)f存在，求,.ab

【解析】因为(0)f存在，所以xf在点0x处可导且连续，则可得41ab.
17.设23212xxyxx，求
y

.

【
解析】两边取自然对数得11ln2ln||ln|1|ln|2|ln|2|33yxxxx，

两边对x求导得1211113(2)3(2)yyxxxx；

所以23221111213(2)3(2)xxyxxxxxx.
18. 设1(1)xyx，求dy.
【解析】两边取自然对数得xxy1ln1ln，两边对x求导得


xxxxyy1

11ln11
2
.

所以xxxxxyx111ln1121，故dxxxxxxdyx111ln1121.
19.设xfxeefy，其中xf存在，求y.
【
解析】xfefeefexfeefeeefeefeefyxxxxfxfxxfxxxfxxfx.

20. 设2ln(1)yxx，求y.
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【解析】因为222222111211111xxyxxxxxxx，
所以222222121(1)1(1)1xxxyxxxx.
21. 设22arctanln,.yxyx求dy
【解析】对等式两边同时求微分，可得，ydyxdxyxyxdxxydyxxy22211111222222，

即2222yxydyxdxyxydxxdy，故dxyxyxdy.
22.（8分）求曲线 sincos2xtyt 在 6t 处的切线方程和法线方程
【解析】因为sincos2xtyt，所以tysin4.当6πt时，x=21，21y，2y.
0142;0324yxyx法线方程所以切线方程
.

23.求由方程 1sin02xyy所确定的隐函数y的二阶导数22dydx
【解析】 对x求导，可得，0cos211dxdyydxdy，即ydxdycos2111.

再对x求导，得3222)cos211(sin21)cos211(sin21yyydxdyydxyd.
24.设函数212()12xxfxaxbx ，适当选择,ab的值，使得()fx在12x处可导
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【解析】因为()fx在12x处可导，则41lim221xx，babaxx21lim21.即4121ba.
又知121f ， af21，即41,1ba.
25.若22)()(xxxfxfy，其中 ()fx为可微函数，求dy
【解析】因为22)()(xxxfxfy，对x求导可得，xydxdyxy232，即xdxyyxdy)32(2.
四.证明题
26.设xf在点0x处连续，且Axxfx0lim(A为常数)，证明xf在点0x处可导.

【证明】因为Axxfx0lim，则00limlim00Axxxfxfxx.又因为xf在点0x处连续，所以

00lim0fxf

x
.于是Axxfxfxffxx00lim0lim0,故xf在点0x处可导，且Af0.