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程 数 值 解
第 三 讲
求极限,求导数与求积分...
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第 三 讲
极限,导数, 极限,导数,积分是我们在高等数学学习中接触 过的最基本也是最重要的概念. 最基本也是最重要的概念 过的最基本也是最重要的概念.一方面它们是很多 数学工具的基础(比如微分方程); );另一方面它们又 数学工具的基础(比如微分方程);另一方面它们又 是工程计算和科学研究直接面对的问题. 是工程计算和科学研究直接面对的问题. 微分(导数)运算比较简单, 微分(导数)运算比较简单,任何一个由基本初 等函数经过四则及复合运算构成的函数, 等函数经过四则及复合运算构成的函数,都可以用 导数公式和求导法则算出它们的导数. 导数公式和求导法则算出它们的导数. 积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数" 积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数"积 不出来" 不出来",由于它们的原函数无法由基本初等函数 经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我 经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我 定积分问题 们也只能采用数值方法 数值方法. 们也只能采用数值方法. 我们得以快速解决这些问题! 借助 MATLAB 我们得以快速解决这些问题!
syms a b x; y=(a*x+tan(3*x))^(1/2)+sin(x)*cos(b*x); d1y=diff(y), disp('***'), pretty(d1y), disp('***') d2y=diff(y,2), disp('***') , pretty(d2y),
求导数运算的调用格式[1] 不定积分 方法说明: 方法说明: int(f)对默认变量积分;int(f,v)对指定变量积分 对默认变量积分; 对默认变量积分 对指定变量积分 应用示例: 应用示例: 1 sin 2 x cos 2 xdx 例10 计算 ∫
syms x; y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2); pretty(int(y))
求导数运算的调用格式
[3] 参数方程求导 方法说明: 方法说明: 对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出 先求出dy/dt和dx/dt 对参数方程 先求出 和 然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可 然后代入公式 应用示例: 应用示例: x = t (1 s i n t ) 例6 求参数方程 y = t c o s t
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z = x 3 y 2 + sin( xy ), 求 3 z x 3 例8 对
syms x y; z=x^3*y^2+sin(x*y);diff(z,x,3)
求导数运算的应用示例
ax bx 为例验证罗必塔法则: 例9 以 lim 为例验证罗必塔法则: x→ 0 x
程 数 值 解 第 三 讲 syms a b x f=a^x-b^x; g=x; l1=limit(f/g,x,0) df=diff(f,x); dg=diff(g,x); l2=limit(df/dg,x,0) if l1==l2 disp('罗必塔法则得到验证!') 罗必塔法则得到验证 罗必塔法则得到验证! end
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1 ( a 2 x 2 ) dx 例11 计算 ∫
syms a x; y=1/(a^2-x^2); pretty(int(y,x))
xexydxdy 例12 计算二重不定积分 ∫∫
syms x y; F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)
求定积分运算的调用格式
lim f ( x ) x→ 0 lim f ( x ) x→ a lim f ( x ) x→ ∞
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注意: 注意: 默认x趋于 ; 默认 趋于0; 趋于 在左, 在左,右极限 不相等, 不相等,或有 一个不存在时, 一个不存在时, 默认为求右极 限;
lim f ( x ) x→ a+
例2 求极限
l i m (1 + 1 n ) n n→ ∞
syms n; y=(1+1/n)^n; limit(y,n,inf)
例3 求极限
lim [5 x + ln ( s in x + e s in x )] x→ 3
syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x))); limit(y,x,3,'left')
lim f ( x ) x→ a
求极限运算的应用示例
应用示例(熟悉应用类型): 应用示例(熟悉应用类型): 例1 求极限 l i m (1 + t a n x 1 + s i n
x→ 0 x 1 x3 )
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第 三 讲 syms x; y=((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/x^3); limit(y)
第三讲 极限,导数,积分(补充)
内容:本讲针对高等数学一元微积分学补充极限, 内容:本讲针对高等数学一元微积分学补充极限, 导数,积分相关运算;介绍Funtool符号计算器; 符号计算器; 导数,积分相关运算;介绍 符号计算器 目的: 积分相关函数的指令实现, 目的:学习极限 / 导数 / 积分相关函数的指令实现, 为学习微分方程数值解作准备; 为学习微分方程数值解作准备; 要求:能够解决高等数学中的一类极限/导数 导数/积分 要求:能够解决高等数学中的一类极限 导数 积分 求解问题;了解并会使用Funtool符号计算器 符号计算器; 求解问题;了解并会使用Funtool符号计算器; 掌握极限(左 右极限 掌握极限 左,右极限) 函数 limit 掌握导数(1阶导 高阶导,偏导) 阶导, 掌握导数 阶导,高阶导,偏导 函数 diff 掌握积分(不定积分 定积分,数值积分) 不定积分, 掌握积分 不定积分,定积分,数值积分 函数 int trapz quad quadl quad8
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∫
a
b
f ( x ) dx
例14 对变上限函数
∫
0
(1 t 2 ) dt 求导
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syms t x;f= sqrt(1-t^2);pretty(diff(int(f,t,0,x^2)))
求定积分运算的调用格式
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[3] 定积分 数值解法 定积分-数值解法 方法说明: 方法说明: 当定积分-符号解法失效时 必须用定积分-数值解 符号解法失效时, 当定积分 符号解法失效时,必须用定积分 数值解 法来近似计算定积分的值.矩形公式sum,复合梯 法来近似计算定积分的值.矩形公式 , 形公式trapz,复合辛普森公式 形公式 ,复合辛普森公式quad/quad8的区别 的区别 在于替代等距曲边梯形的方式不同: 在于替代等距曲边梯形的方式不同:
dx=0.1; x=0:dx:10; y=-x.^2+115; sum(y(1:length(x)-1))*dx
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(
的近似值) ( x 2 + 115) dx 的近似值 ∫
0
求定积分运算的调用格式
trapz(x,y)
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用复合梯形公式计算定积分, 为积分变量分点向 用复合梯形公式计算定积分,x为积分变量分点向 量,y为被积函数分点函数值向量 为被积函数分点函数值向量 quad('fun',a,b,tol,trace) 用复合辛普森公式计算定积分, 为被积函数表 用复合辛普森公式计算定积分,fun为被积函数表 达式字符串或m函数文件名 函数文件名, , 是积分下上限 是积分下上限, 达式字符串或 函数文件名,a,b是积分下上限, tol表示精度 缺省 表示精度(缺省 图示积分过程(默 表示精度 缺省0.001),trace=1图示积分过程 默 , 图示积分过程 不显示) 认=0不显示 不显示 %quadl采用 采用Lobatto算法,精度和速度要优于 算法, 采用 算法 精度和速度要优于quad %quad8采用 阶NewtonCotes算法,精度优于 采用8阶 算法, 采用 算法 精度优于quad
x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.^2+exp(x.^2)); p=polyfit(x,y,5), y2=polyval(p,x); plot(x,y,'b',x,y2,'r'); legend('y','y2',2); %产生数据点,拟合成5阶多项式函数,并作图比较 p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2), %利用多项式函数专用求导函数polyder求导,并代值 y2=poly2sym(p,'x'), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2), %利用通用求导函数diff求导,并代值
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[2] 多项式拟合求导(表达式未知或不易求导) 多项式拟合求导(表达式未知或不易求导) 方法说明: 方法说明: 先利用polyfit将函数拟合成多项式函数,然后利用 将函数拟合成多项式函数, 先利用 将函数拟合成多项式函数 多项式函数求导命令polyder求导或 求导或diff求导 多项式函数求导命令 求导或 求导 应用示例: 应用示例: 例5 用5阶多项式拟合函数 cos( x ) ln(3 + x 2 + e 2 x ) 阶多项式拟合函数 并求x=2处的二阶导函数值 并求 处的二阶导函数值
求定积分运算的应用示例
应用示例: 应用示例:
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