高一数学：用因式分解法解下列方程1.a^4-4a+32.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n3.x^2+(a+1/a)xy+y^24.9a^2-4b^2+4bc-c^25.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3)2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1]3.(ax+y)(1/ax+y)4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c)5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)= (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc)=c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc=c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc=(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b)=(a-2b-c)^21.x^2+2x-82.x^2+3x-103.x^2-x-204.x^2+x-65.2x^2+5x-36.6x^2+4x-27.x^2-2x-38.x^2+6x+89.x^2-x-1210.x^2-7x+1011.6x^2+x+212.4x^2+4x-3解方程：（x的平方+5x-6）分之一=（x的平方+x+6）分之一十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -21 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为 1 -31 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

解：因为 2 -53 ╳5所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0所以x1=5/2 x2=-5/32)、用十字相乘法解一些比较难的题目例5把14x²-67xy+18y²分解因式分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y解: 因为2 -9y7 ╳-2y所以14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳-1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）5 ╳4y - 3=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳4y=（2x -7y+1）（5x -4y -3）2 x -7y 15 x - 4y ╳-3说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3]. 例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b2 ╳+b[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）1 ╳-（a-b）所以x1=2a+b x2=a-b5-7(a+1)-6(a+1)^2=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]=-(2a+1)(3a+8);-4x^3 +6x^2 -2x=-2x(2x^2-3x+1)=-2x(x-1)(2x-1);6(y-z)^2 +13(z-y)+6=6(z-y)^2+13(z-y)+6=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]=(2z-2y+3)(3z-3y+2).比如...x^2+6x-7这个式子由于一次幂x前系数为6所以，我们可以想到，7-1=6因此我们想到将-7看成7*（-1）于是我们作十字相成x +7x -1的到（x+7）·（x-1）成功分解了因式3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2=3ab^2(1-3a+2a^2)=3ab^2(2a^2-3a+1)=3ab^2(2a-1)(a-1)5-7(a+1)-6(a+1)^2=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]=-(2a+1)(3a+8);-4x^3 +6x^2 -2x=-2x(2x^2-3x+1)=-2x(x-1)(2x-1);6(y-z)^2 +13(z-y)+6=6(z-y)^2+13(z-y)+6=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]=(2z-2y+3)(3z-3y+2).比如...x^2+6x-7这个式子由于一次幂x前系数为6所以，我们可以想到，7-1=6因此我们想到将-7看成7*（-1）于是我们作十字相成x +7x -1的到（x+7）·（x-1）成功分解了因式3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2=3ab^2(1-3a+2a^2)=3ab^2(2a^2-3a+1)=3ab^2(2a-1)(a-1)x^2+3x-40=x^2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)^2-(6.5)^2=(x+8)(x-5)．⑹十字相乘法这种方法有两种情况。

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．②kx^2+mx+n型的式子的因式分解如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．图示如下：a b×c d例如：因为1 -3×7 2-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中⑶分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay 和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2. x3-x2+x-1解法：=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

3. x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y+1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

758²—258² =(758+258)(758-258)=1016*500=508000。