用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。

但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。

而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。

下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。

例如：中，若求a n }{n a 数列),(411,211N n a a a nn ∈+==++4,n n nn b b a b ==+1,1则设即＝４，n n b b -+1｝是等差数列。

n b {∴可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ a n }的通项。

n b 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求a n),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+2)数列{ a n }中，求a n 通项公式。

,22,111+==+n nn a a a a 3)数列{ a n }中,求a n .),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且二．构造形如的数列。

2n n a b =例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，,),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-求数列{ a n }的通项公式。

三．构造形如的数列。

n n a b lg =例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且求a n .),,2(,lg 21lg 1N n n a a n n ∈≥=-解：由题意得：，n n n n a b a a lg 21lg lg 1=∴=-可设，即,211=-n n b b110lg 211==∴b b n ，是等比数列，公比为. )(,)21(21(111N n b n n n ∈=⋅=∴--即1)21(110,)21(lg -=∴=-n n n n a a 练习：（选自2002年高考上海卷）数列{ a n }中，若a 1=3,,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。

21n n a a =+四．构造形如的数列。

m a b n n +=例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。

解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1）设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7,11271,27--⋅=+⋅=∴n n n n a b 即，1271-⋅=∴-n n a )(N n ∈构造此种数列，往往它的递推公式形如：。

的形式和2)1(,1+=+≠+⋅=+n a S c d a c a n n n n 如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x),a n+1=c a n +(c-1)x用待定系数法得： (c-1)x ＝d∴ x=.1-c d又如：Ｓn +a n =n+2, 则　Ｓn-1+a n-1=n+1,二式相减得：Ｓn －Ｓn-1 +a n －a n-1 =１，即a n +a n －a n-1 =１，∴ 2 a n －a n-1=１，a n =a n-1+.2121如上提到b n = a n ＋ d = a n –111-c 练习：1.数列{ a n }满足a n+1=3a n +2, 求a n2.数列{ a n }满足Ｓn +a n =2n+1,求a n 五．构造形如的数列。

n n n a a b -=+1例：数列{ a n }中，若a 1=１，a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n N),求a n 。

∈解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ，则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １= a 2- a 1＝2,∴a n ＋１ －a n =2•(-5)n-1即a ２ －a １=2•(-5)a ３ －a ２=2•(-5)２a ４ －a ３=2•(-5)３┄a n －a n －１=2•(-5)n-2以上各式相加得：a n －a １=2•［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］即：a n －a １=2•)5(1511-----n ）（，即，（n 3)5(111---+=∴n n a 3)5(41---=n n a )N ∈当递推公式中，a n ＋１与a n 的系数相同时，我们可构造b n = a n ＋１ －a n ，然后用叠加法得：b 1+b 2+b 3+b 4+┄+b n = a n -a 1通过求出数列｛b n ｝前n-1项和的方法，求出数列{ a n }的通项公式。

1)当递推公式中形如:a n+1=a n +an+b ; a n+1=a n +q n (q ≠1) ; a n+1=a n +q n +an+b 等情形时，可以构造b n = a n ＋１－a n ,得: b n = an+b ； b n = q n ; b n =q n +an+b 。

求出数列前n-1项的和T n-1,T n-1=; b n nn a )1(2)1(-+-T n-1=；qq q n ---1)1(1T n-1=+q q q n ---1)1(1b n nn a )1(2)1(-+-即：a n －a １=; b n nn a )1(2)1(-+-a n －a １=;q q q n ---1)1(1 a n －a １=+b n nn a )1(2)1(-+-q q q n ---1)1(1从而求出a n =a １+; b n nn a )1(2)1(-+-a n = a １+;qq q n ---1)1(1a n =a １++。

b n nn a )1(2)1(-+-q q q n ---1)1(12）当递推公式中形如:a n+1=a n +；a n+1=a n +；a n+1=a n +等情形)1(1+n n )12(121+-n n ）（11++n n 可以构造b n = a n ＋１－a n ,得:：b n =；b n =；b n =)1(1+n n )12(121+-n n ）（11++n n 即b n =；b n =；b n =111+-n n 121121(21+--n n n n -+1从而求出求出数列前n-1项的和T n-1,T n-1=；T n-1=；T n-1=n 11-1211(21--n 1-n即：a n －a １=; n11-a n －a １=;)1211(21--n a n －a １=1-n 从而求出 a n =a １+;n 11-a n = a １+;1211(21--n a n =a １+1-n 练习：1）数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n, 求通项a n.2）数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n , 求通项a n.3) 数列{ a n }中，若a 1=2，，求通项a n.n a a n n n -+=+21六．构造形如的形式。

nn n a a b 1+=例：数列{ a n }中，若a 1=1，，求a n.n n na a n =++1)1(解：由得：n n na a n =++1)1(11+=+n na a n n ∴， ， ，…2112=a a 3223=a a 4334=a a nn a a n n 11-=-用累乘法把以上各式相乘得：na a n 11=∴。

na n 1=当递推公式形如：；；等形式，n n n a q a =+n n na a n =++1)1(n n a n na )1(1+=+我们可以构造。

nn n a a b 1+=可得:;;.n n q b =1+=n n b n n n b n 1+=然后用叠乘法得：。

11321a ab b b b n n =- 令数列{b n }的前n-1项的积为A n-1,则；;2)1(1--=n n n q A n A n 11=-nA n 11=-从而得到：；；=1a a n 2)1(-n n q =1a a n n 1=1a a n n1 ；；。

1a a n =2)1(-n n qn a a n 11⋅=na a n 11⋅=练习：1）数列{ a n }中，若a 1=2，，求a n.n n n a a 2=+七．构造形如的形式。

n n n ma a b -=+1例：数列{ a n }中，a 1=2，S n =4a n-1+1，求a n.解：S n=4a n-1+1，S n-1=4a n-2+1二式相减：S n-S n-1=4a n-1-4a n-2a n =4a n-1-4a n-2a n -2a n-1=2（a n-1-a n-2）设b n=a n+1-2a n，当递推公式形如S n+1=4a n+2;a n+2=pa n+1+qa n(p+q=1) 等形式时，因a n-2a n+1=2(a n+1-2a n);a n+2-a n+1=(p-1)(a n+1-a n),我们构造b n=a n+1-2a n; b n=a n+1-a n,由等比数列知识得b n=(a2-a1)·2n-1; b n=(a2-a1)·(p-1)n-1从而得到a n+1=2a n+(a2-a1)2n-1;a n+1=a n(a2-a1)(1-q)n-1由类型四求出a n。

总之，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式。

当然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生的创造能力，让学生自己去构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。