在进行加减运算时,为了又快又准确,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算方法。
加减法的巧算主要是“凑整”,就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结构都是整十、整百、整千……的数,再将各组的结果求和。
这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。
一、先讲加法的巧算,加法具有以下两个运算律:加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
即:a+b=b+a其中,a,b各表示任意数字。
例如,5+6=6+5一般地,多个数相加,任意改变相加的顺序,其和不变。
例如,a+b+c+d=d+b+c+a=…其中,a,b,c,d各表示任意一数。
加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数,或者,先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变。
即:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)其中,a,b,c,各表示任意一数。
例如:4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)一般地,多个数相加,可先对其中几个数相加,再与其他数相加。
把加法交换律和加法结合律综合起来运用,就得到加法的一些巧算方法。
1、凑整法。
先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来,然后再与其他的数相加。
例1:计算(1)23+54+18+47+82(2)1350+49+68+51+32+16502、借数凑整法有些题目直观上凑数不明显,这时可“借数”凑整。
例如,计算976+85,可在85中借出24,即把85拆分成24+61,这样就可以先用976加上24,“凑”成1000,然后再加61。
例2:计算(1)57+64+238+46(2)4993+3996+5997+848二、减法和加减法混合运算的巧算。
加、减法有如下一些重要性质:1、在连减或加、减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
例如:a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b2、在加、减法混合运算中,去括号时,如果括号前面是“+”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变,如果括号前面是“-”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。
例如:a+(b-c)=a+b-ca-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c3、在加、减法混合运算中,添括号时,如果添加的括号前面是“+”号,那么括号内的数原来的运算符号不变,如果添加的括号前面是“-”号,那么括号内的数的原来的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。
例如:a+b-c=a+(b-c)a-b+c=a-(b+c)a-b-c=a-(b+c)灵活运用这些性质,可得减法或加、减混合运算的一些简便方法。
三、分组凑整法例3 计算(1)875-364-236(2)1847-1928+628-136-64(3)+2234-48-24例4 计算(1)512-382(2)6854-876-97(3)397-146+288-339四、加法中的巧算1.什么叫“补数”?两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如:1+9=10,3+7=10,2+8=10,4+6=10,5+5=10。
又如:11+89=100,33+67=100,22+78=100,44+56=100,55+45=100,在上面算式中,1叫9的“补数”;89叫11的“补数”,11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?一般来说,可以这样“凑”数:从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。
如: 87655→12345, 46802→53198,87362→12638,…下面讲利用“补数”巧算加法,通常称为“凑整法”。
2.互补数先加。
例1 巧算下面各题:①36+87+64②99+136+101③ 1361+972+639+28解:①式=(36+64)+87=100+87=187②式=(99+101)+136=200+136=336③式=(1361+639)+(972+28)=2000+1000=30003.拆出补数来先加。
例2 ①188+873②548+996③9898+203解:①式=(188+12)+(873-12)(熟练之后,此步可略)=200+861=1061②式=(548-4)+(996+4)=544+1000=1544③式=(9898+102)+(203-102)=10000+101=101014.竖式运算中互补数先加。
如:五、减法中的巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。
例 3 ① 300-73-27② -10解:①式= 300-(73+ 27)= 300-100=200②式=1000-(90+80+20+10)=1000-200=8002.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例4① 4723-(723+189)② 2356-159-256解:①式=4723-723-189=4000-189=3811②式=2356-256-159=2100-159=19413.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。
例 5 ①506-397②323-189③467+997④987-解:①式=500+6-400+3(把多减的 3再加上)=109②式=323-200+11(把多减的11再加上)=123+11=134③式=467+1000-3(把多加的3再减去)=1464④式=987-(178+222)-390=987-400-400+10=197六、加减混合式的巧算1.去括号和添括号的法则在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号,则不论去掉括号或添上括号,括号里面的运算符号都要改变,“+”变“-”,“-”变“+”,即:a+(b+c+d)=a+b+c+da -(b+a+d)=a-b-c-da -(b-c)=a-b+c例6 ①100+(10+20+30)② 100-(10+20+3O)③ 100-(30-10)解:①式=100+10+20+30=160②式=100-10-20-30=40③式=100-30+10=80例7 计算下面各题:① 100+10+20+30② 100-10-20-30③ 100-30+10解:①式=100+(10+20+30)=100+60=160②式=100-(10+20+30)=100-60=40③式=100-(30-10)=100-20=802.带符号“搬家”例8 计算 325+46-125+54解:原式=325-125+46+54=(325-125)+(46+54)=200+100=300注意:每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46,-125,+54.而325前面虽然没有符号,应看作是+325。
3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉例9 计算9+2-9+3解:原式=9-9+2+3=54.找“基准数”法几个比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”。
例10 计算 78+76+83+82+77+80+79+85=640七、乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的,要先乘.为此,要牢记下面这三个特殊的等式:5×2=10 25×4=100 125×8=1000例1 计算①123×4×25② 125×2×8×25×5×4解:①式=123×(4×25)=123×100=12300②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)=1000×100×10=10000002.分解因数,凑整先乘。
例 2计算① 24×25② 56×125③ 125×5×32×5解:①式=6×(4×25)=6×100=600②式=7×8×125=7×(8×125)=7×1000=7000③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)=1000×100=1000003.应用乘法分配律。
例3 计算① 175×34+175×66②67×12+67×35+67×52+6解:①式=175×(34+66)=175×100=17500②式=67×(12+35+52+1)= 67×100=6700(原式中最后一项67可看成 67×1)例4 计算① 123×101 ② 123×99解:①式=123×(100+1)=123×100+123=12300+123=12423②式=123×(100-1)=12300-123=121774.几种特殊因数的巧算。
例5 一个数×10,数后添0;一个数×100,数后添00;一个数×1000,数后添000;以此类推。
如:15×10=15015×100=150015×1000=15000例6 一个数×9,数后添0,再减此数;一个数×99,数后添00,再减此数;一个数×999,数后添000,再减此数;…以此类推。
如:12×9=120-12=10812×99=1200-12=118812×999=12000-12=11988例7 一个偶数乘以5,可以除以2添上0。
如:6×5=3016×5=80116×5=580。
例8 一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。
如 2222×11=24442例9 一个偶数乘以15,“加半添0”.24×15=(24+12)×10=360因为24×15= 24×(10+5)=24×(10+10÷2)=24×10+24×10÷2(乘法分配律)=24×10+24÷2×10(带符号搬家)=(24+24÷2)×10(乘法分配律)例10 个位为5的两位数的自乘:十位数字×(十位数字加1)×100+25如15×15=1×(1+1)×100+25=22525×25=2×(2+1)×100+25=62535×35=3×(3+1)×100+25=122545×45=4×(4+1)×100+25=202555×55=5×(5+1)×100+25=302565×65=6×(6+1)×100+25=422575×75=7×(7+1)×100+25=562585×85=8×(8+1)×100+25=722595×95=9×(9+1)×100+25=9025还有一些其他特殊因数相乘的简便算法,有兴趣的同学可参看《算得快》一书。