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六年级奥数-第一讲分数的速算与巧算.


和一个不完整

成。
,而

所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6,经检验只有最后两位为4,2时才符合要求,显然,这种情况下完整
的循环节为“
”,因此这个分数应该为 ,所以

【巩固】 真分数 化成循环小数之后,小数点后第2009位数字为7,则 是多少?
【解析】 我们知道形如 的真分数转化成循环小数后,循环节都是由6位数字组成,
【巩固】 计算:

【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为


,……,
,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式
乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了.
原式
【巩固】 【解析】 (法1):可先找通项
原式
(法2):原式
,所以有
.(“□”,表示未知的那2个数).所以,这8个数从大到小排列
第4个数是 .
【例 19】 真分数 化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么 是多少?
【解析】





.因
此,真分数 化为小数后,从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27,
,则运用“借来还去”的方法可得到
,整理得到

【例 12】 计算:
【解析】 原式
【巩固】 ⑴
________;

________.
【解析】 ⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1,设

原式
⑵ 原式
【巩固】 计算: 【解析】 原式
【例 13】 计算:
【解析】 原式
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原式 【巩固】 【解析】 设 【巩固】 【解析】 设 【巩固】 计算

,则有 ,则有
第 10 页 共 16 页
(
)
【解析】 设
. 原式=
+
=
+
=
【巩固】 (
)(
)(
【解析】 换元的思想即“打包”,令

则原式
(
)(
)(
)(
(
)
【巩固】 计算(
)(
)(
【解析】 该题相对简单,尽量凑相同的部分,即能简化运算.设
又因为1992÷27=73……21,27-21=6,而6=2+4,所以
,即

【巩固】 真分数 化成循环小数之后,从小数点后第1位起若干位数字之和是
,则 是多少?
【解析】 我们知道形如 的真分数转化成循环小数后,循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成,只是各个数字的
位置不同而已,那么
就应该由若干个完整的
【解析】
×
循环节有6位,100÷6=16……4,因此第100位小数是循环节中的第4位8,第10l位是5.这样四舍五入后第100位 为9.
【例 18】 有8个数, , , , ,
是其中6个,如果按从小到大的顺序排列时,第4个数是 ,那么
按从大到小排列时,第4个数是哪一个数?
【解析】
,
,
,

显然有

,8个数从小到大排列第4个是
原式
现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差
公式:


……
【解析】 原式
【例 3】
【解析】 原式
【例 4】
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入 手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
【解析】 原式

=.
【巩固】 【解析】 原式
【巩固】 计算:
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【解析】 原式
【例 11】 计算:
【解析】 法一:利用等比数列求和公式。
原式
法二:错位相减法. 设


,整理可得

法三:本题与例3相比,式子中各项都是成等比数列,但是例3中的分子为3,与公比4差1, 所以可以采用“借来 还去”的方法,本题如果也要采用“借来还去”的方法,需要将每一项的分子变得也都与公比差1.由于公比为3, 要把分子变为2,可以先将每一项都乘以2进行算,最后再将所得的结果除以2即得到原式的值.由题设,
况.所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式.
观察可知

,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以
第 2 页 共 16 页
所以原式

【巩固】 计算:
【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分 子、分母都乘以分子中的数.即:
【巩固】 计算 (1) 【解析】 (1)原式
(2)原式
(2)
【例 17】 某学生将
【解析】 由题意得:
乘以一个数 时,把 误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
,即:
,所以有:
.解得

所以
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【巩固】 将循环小数

相乘,取近似值,要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一位小数是多少?
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(1)

(2)
【解析】 单位分数的拆分,主要方法是从分母 的约数中任意找出两个数 和 ,有:

从分母 的约数中任意找出两个 和 (
),有:
(1) 本题 的约数有: ,10,2,5.
例如:选1和2,有:

从上面变化的过程可以看出,如果取出的两组不同的 和 ,它们的数值虽然不同,但是如果 和 的比值相
,再选择其中的一个分数进行拆
分,比如
,所以

【例 22】
【解析】
【巩固】 =
-=
【解析】
注:这里要先选10的三个约数,比如5、2和1,表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.
【例 23】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是__________。
【解析】 小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个,分母为17的真分数相加,和等于 。
【例 6】
【解析】 原式=
【巩固】 计算: 【解析】 先找通项公式
原式
= 第 5 页 共 16 页
【巩固】
【解析】 先找通项:

原式
【例 7】
【解析】 找通项
原式

通过试写我们又发现数列存在以上规律,这样我们就可以轻松写出全部的项,所以有 原式
【例 8】
【解析】
原式=
=
【巩固】
【解析】
原式
【例 9】 计算:
【例 14】

【解析】 原式
【巩固】 计算:

【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差,但灵活采用平方差公式能收到更好的效果.
原式
【巩固】 计算:

【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和,也可以采用平方差公式.
原式
其中
可以直接计算,但如果项数较多,应采用公式 进行计算.
【巩固】 计算:
判断当 为几时满足循环节第5位数是7,经逐一检验得

【例 20】
和 化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
,因此只需
【解析】 如果将
和 转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦,通过观察计算我们
发现
,而
,则第100位上的数字和为9.
【巩固】 纯循环小数 【解析】 如果直接把
一、裂项综合 (一)、“裂差”型运算
第一讲分数的速算与巧算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即
形式的,这里我们把较小的数写在前面,即
,那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:

形式的,我们有:
裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的,但是只要将x提取出来即可转化
【解析】 先选10的三个约数,比如5、2和1,表示成连减式
和连加式

则:
如果选10、5、2,那么有:

另外,对于这类题还有个方法,就是先将单位分数拆分,拆成两个单位分数的和或差,再将其中的一个单位分 数拆成两个单位分数的和或差,这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了.比如,要得到
,根据前面的拆分随意选取一组,比如

【解析】 虽然很容易看出



……可是再仔细一看,并没有什么效果,因为这不象分数裂
项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子,每一项的分母容易让我们想到公式
,于是我们又有
..减号前面括号里的式子有10项,减号后面括号里的式子
也恰好有10项,是不是“一个对一个”呢?





模块二、换元与公式应用
【例 10】 计算:

,……,
第 3 页 共 16 页
原式 【巩固】
原式= +

=(
)+(
【巩固】

+…+
)+(
)+(
【解析】

原式
)=
,……, ,所以
【巩固】 【解析】 原式
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