组合场复合场叠加场典型习题1．如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直纸面向里，将带正电的小球在场中静止释放，最后落到地面上．关于该过程，下述说法正确的是( )A．小球做匀变速曲线运动B．小球减少的电势能等于增加的动能C．电场力和重力做的功等于小球增加的动能D．若保持其他条件不变，只减小磁感应强度，小球着地时动能不变解析：选C.重力和电场力是恒力，但洛伦兹力是变力，因此合外力是变化的，由牛顿第二定律知其加速度也是变化的，选项A错误；由动能定理和功能关系知，选项B错误，选项C正确；磁感应强度减小时，小球落地时的水平位移会发生变化，则电场力所做的功也会随之发生变化，选项D错误．2．带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将( )A．可能做直线运动B．可能做匀减速运动C．一定做曲线运动D．可能做匀速圆周运动解析：选C.带电质点在运动过程中，重力做功，速度大小和方向发生变化，洛伦兹力的大小和方向也随之发生变化，故带电质点不可能做直线运动，也不可能做匀减速运动和匀速圆周运动，C正确．3．(多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是( )A．该微粒一定带负电荷B ．微粒从O 到A 的运动可能是匀变速运动C ．该磁场的磁感应强度大小为mgqv cos θD ．该电场的场强为Bv cos θ解析：选AC.若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg 、水平向左的电场力qE 和斜向右下方的洛伦兹力qvB ，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向下的重力mg 、水平向右的电场力qE 和斜向左上方的洛伦兹力qvB ，又知微粒恰好沿着直线运动到A ，可知微粒应该做匀速直线运动，则选项A 正确，B 错误；由平衡条件有：qvB cos θ＝mg ，qvB sin θ＝qE ，得磁场的磁感应强度B ＝mgqv cos θ，电场的场强E ＝Bv sin θ，故选项C 正确，D 错误．4．(多选)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U 加速后，水平进入互相垂直的匀强电场E 和匀强磁场B 的复合场中(E 和B 已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则( )A ．小球可能带正电B ．小球做匀速圆周运动的半径为r ＝1B2UEgC ．小球做匀速圆周运动的周期为T ＝2πEBgD ．若电压U 增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加解析：选BC.小球在复合场中做匀速圆周运动，则小球受到的电场力和重力满足mg ＝Eq ，方向相反，则小球带负电，A 错误；因为小球做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律和动能定理可得：Bqv ＝mv 2r ，Uq ＝12mv 2，联立两式可得：小球做匀速圆周运动的半径r ＝1B2UE g ，由T ＝2πr v 可以得出T ＝2πE Bg，与电压U 无关，所以B 、C 正确，D 错误．5．(多选)如图所示，在第二象限中有水平向右的匀强电场，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场．有一重力不计的带电粒子(电荷量为q ，质量为m )以垂直于x 轴的速度v 0从x 轴上的P 点进入匀强电场，恰好与y 轴正方向成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x 轴进入第四象限．已知OP 之间的距离为d ，则( )A ．带电粒子通过y 轴时的坐标为(0，d )B ．电场强度的大小为mv 202qdC ．带电粒子在电场和磁场中运动的总时间为(3π＋4)d2v 0D ．磁感应强度的大小为2mv 04qd解析：选BC. 粒子在电场中做类平抛运动，因为进入磁场时速度方向与y 轴正方向成45°角，所以沿x 轴正方向的分速度v x ＝v 0，在x 轴正方向做匀加速运动，有d ＝0＋v 02t ，沿y 轴正方向做匀速运动，有s ＝v 0t ＝2d ，故选项A 错误．沿x 轴正方向做匀加速运动，根据v x ＝v 0＝Eq m ×2d v 0＝2Eqd mv 0，解得E ＝mv 202qd，故选项B 正确．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，轨迹如图所示，由图可知粒子在磁场中运动的半径R ＝22d ，圆心角θ＝135°＝34π，所以在磁场中的运动时间为t 1＝2πR ×1353602v 0＝3π×22d 42v 0＝3πd2v 0；在电场中的运动时间为t 2＝2d v 0，所以总时间为t ＝t 1＋t 2＝(3π＋4)d 2v 0，故选项C 正确．由qvB ＝mv2R 可知，磁感应强度B ＝m ×2v 0q ×22d ＝mv 02qd，故选项D 错误．6．在某空间存在着水平向右的匀强电场E 和垂直于纸面向里的匀强磁场B ，如图所示，一段光滑且绝缘的圆弧轨道AC 固定在纸面内，其圆心为O 点，半径R ＝1.8 m ，OA 连线在竖直方向上，AC 弧对应的圆心角θ＝37°.今有一质量m ＝3.6×10－4kg 、带电荷量q ＝＋9.0×10－4C 的带电小球(可视为质点)，以v 0＝4.0 m/s 的初速度沿水平方向从A 点射入圆弧轨道内，一段时间后从C 点离开，小球离开C 点后做匀速直线运动．已知重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：(1)匀强电场的场强E ；(2)小球刚离开C 点时的速度大小；(3)小球刚射入圆弧轨道时，轨道对小球的瞬间支持力．解析：(1)当小球离开圆弧轨道后，对其受力分析如图甲所示，由平衡条件得F 电＝qE＝mg tan θ，代入数据解得E ＝3 N/C.(2)小球从进入圆弧轨道到离开圆弧轨道的过程中，由动能定理得F 电R sin θ－mgR (1－cos θ)＝mv 22－mv 22，代入数据得v ＝5 m/s.(3)由(1)可知F 洛＝qvB ＝mgcos θ，解得B ＝1 T ，小球射入圆弧轨道瞬间竖直方向的受力情况如图乙所示，由牛顿第二定律得F N ＋Bqv 0－mg ＝mv 20R，代入数据得F N ＝3.2×10－3N.答案：(1)3 N/C (2)5 m/s (3)3.2×10－3N7. 如图所示，在直角坐标系xOy 平面内，虚线MN 平行于y 轴，N 点坐标为(－L,0)，MN 与y 轴之间有沿y 轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的矩形有界匀强磁场(图中未画出)．现有一质量为m 、电荷量为－e 的电子，从虚线MN 上的P 点，以平行于x 轴正方向的初速度v 0射入电场，并从y 轴上点A ()0，0.5L 射出电场，射出时速度方向与y 轴负方向成30°角，进入第四象限后，经过矩形磁场区域，电子过点Q ⎝⎛⎭⎪⎫36L ，－L ，不计电子重力，求：(1)匀强电场的电场强度E 的大小；(2)匀强磁场的磁感应强度B 的大小和电子在磁场中运动的时间t ； (3)矩形有界匀强磁场区域的最小面积S min .解析：(1)设电子在电场中运动的加速度为a ，时间为t ，离开电场时，沿y 轴方向的速度大小为v y ，则L ＝v 0ta ＝eE mv y ＝at v y ＝v 0tan 30°解得：E ＝3mv 2eL(2) 设轨迹与x 轴的交点为D ，OD 距离为x D ，则x D ＝0.5L tan 30°＝36L 所以，DQ 平行于y 轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ 上，电子运动轨迹如图所示．设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ，则evB ＝m v 2rv ＝v 0sin 30°由几何关系有 r ＋r sin 30°＝L ，即r ＝L3联立以上各式解得 B ＝6mv 0eL电子转过的圆心角为120°，则得 t ＝T3T ＝2πm eB ⎝⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πL 3v 0 得t ＝πL9v 0(3)以切点F 、Q 的连线长为矩形的一条边，与电子的运动轨迹相切的另一边作为其FQ 的对边，有界匀强磁场区域面积为最小．S min ＝3r ×r2得S min ＝3L218答案：(1)3mv 2eL (2)6mv 0eL πL 9v 0 (3)3L2188．如图所示，圆柱形区域的半径为R ，在区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场；对称放置的三个相同的电容器，极板间距为d ，板间电压为U ，与磁场相切的极板，在切点处均有一小孔，一带电粒子，质量为m ，带电荷量为＋q ，自某电容器极板上的M 点由静止释放，M 点在小孔a 的正上方，若经过一段时间后，带电粒子又恰好返回M 点，不计带电粒子所受重力．求：(1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径； (2)U 与B 所满足的关系式；(3)带电粒子由静止释放到再次返回M 点所经历的时间． 解析：(1)由几何关系解得r ＝3R . (2)设粒子加速后获得的速度为v ， 由动能定理得qU ＝12mv 2－0，由洛伦兹力提供向心力，得qvB ＝m v 2r，联立解得B ＝1R2mU 3q. (3)根据运动电荷在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πmqB＝2πR3m 2qU， 依题意分析可知粒子在磁场中运动一次所经历的时间为16T ，故粒子在磁场中运动的总时间t 1＝3×16T ＝πR3m 2qU， 而粒子在匀强电场中所做运动类似竖直上抛运动，设每次上升或下降过程经历的时间为t 2，则有d ＝12at 22， a ＝qU md， 解得t 2＝d2m qU，粒子在电场中运动的总时间为t 3＝6t 2＝6d2m qU.带电粒子由静止释放到再次返回M 点所经历的时间为t ＝t 1＋t 3＝πR3m2qU＋6d 2mqU.答案：(1)3R (2)B ＝1R2mU 3q(3)πR3m2qU＋6d 2mqU9．如图所示，在xOy 平面第一象限内有平行于y 轴的匀强电场和垂直于xOy 平面的匀强磁场，匀强电场电场强度为E .一带电荷量为＋q 的小球从y 轴上离坐标原点距离为L 的A 点处，以沿x 正向的初速度进入第一象限，如果电场和磁场同时存在，小球将做匀速圆周运动，并从x 轴上距坐标原点L2的C 点离开磁场．如果只撤去磁场，并且将电场反向，带电小球以相同的初速度从A 点进入第一象限，仍然从x 轴上距坐标原点L2的C 点离开电场．求：(1)小球从A 点出发时的初速度大小； (2)磁感应强度B 的大小和方向．解析：(1)由带电小球做匀速圆周运动知mg ＝Eq 所以电场反向后竖直方向受力Eq ＋mg ＝ma 得a ＝2g小球做类平抛运动，有L 2＝v 0t ，L ＝12at 2得v 0＝12gL(2)带电小球做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，有qv 0B ＝mv 20R 得B ＝mv 0qR由圆周运动轨迹分析得(L －R )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22＝R 2R ＝5L 8代入得B ＝4E gL5gL由左手定则得，磁感应强度垂直于xOy 平面向外． 答案：(1)12gL (2)4E gL5gL，垂直于xOy 平面向外10．如图甲所示，建立Oxy 坐标系．两平行极板P 、Q 垂直于y 轴且关于x 轴对称，极板长度和板间距均为l .在第一、四象限有磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于Oxy 平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x 轴向右连续发射质量为m 、电荷量为＋q 、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～3t 0时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)．已知t ＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t 0时刻经极板边缘射入磁场．上述m 、q 、l 、t 0、B 为已知量．(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)(1)求电压U 0的大小；(2)求12t 0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．解析：(1)t ＝0时刻进入两板间的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t 0时刻刚好从极板边缘射出，在y 轴负方向偏移的距离为12l ，则有E ＝U 0l ①qE ＝ma ②12l ＝12at 20③ 联立①②③式，解得两板间偏转电压为U 0＝ml 2qt 20④(2)12t 0时刻进入两板间的带电粒子，前12t 0时间在电场中偏转，后12t 0时间两板间没有电场，带电粒子做匀速直线运动．带电粒子沿x 轴方向的分速度大小为v 0＝l t 0⑤带电粒子离开电场时沿y 轴负方向的分速度大小为v y ＝a ·12t 0⑥带电粒子离开电场时的速度大小为v ＝v 20＋v 2y ⑦设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R ，则有qvB ＝m v 2R⑧联立③⑤⑥⑦⑧式解得R ＝5ml 2qBt 0⑨(3)2t 0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开电场时沿y 轴正方向的分速度为v y ′＝at 0⑩设带电粒子离开电场时速度方向与y 轴正方向夹角为α，则tan α＝v 0v y ′⑪ 联立③⑤⑩⑪式解得 α＝π4⑫带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，圆弧所对的圆心角2α＝π2，所求最短时间为t min ＝14T ⑬带电粒子在磁场中运动的周期为T ＝2πmqB⑭联立⑬⑭式得t min ＝πm2qB答案：(1)ml 2qt 20 (2)5ml 2qBt 0 (3)2t 0 πm2qB。