P X 3 1 C 0.1 0.9
k 0 k 10 k
2
10 k
0.0702.
10
四、泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学
家——泊松的名字来命名． 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
P X k
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2,
其中
, n,
0 p 1 , q p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
分布列正则性验证：
p C
k 0 k k 0
n
n
k n
pq
k
n k
p q 1.
n k

k
k!
e .

即

C p 1 p
k n k

np
n很大, p很小

k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为
np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
如果一个随机变量Ｘ只有两个可能取值，则 称Ｘ服从两点分布． ◆新生婴儿是男还是女； 都可以用一 ◆一次抽样的结果是正品还是次品； 个服从两点 分布的随机 ◆掷一枚骰子是否掷出点2； 变量来描述 ◆一次投篮是否投中； ◆一次投标是否中标．
3
任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型
X
0
1
P
或用公式表示为
1 p
k
p
1 k
P X k p (1 p)
0, F x 1 p, 1,
, k 0, 1 .
此时，称Ｘ服从参数为 p 的0-1分布，其分布 函数为
x 0, 0 x 1， x 1.
4
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
交通岗1
交通岗２
交通岗３
7
解 考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于 作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红 灯或没有遇到红灯，即成功或失败．用Ｘ表示途 中遇到红灯的次数，则Ｘ就是在每次成功概率为 0.4的3重伯努利试验中恰好成功的次数，从而
X ~ B 3, 0.4 . 于是，所求概率为 P X 1 1 P X 0
12
例2.10 某城市每天发生火灾的次数
X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率． 解 P X 3 1 P X 3 1
2
P X k
k 0
2
1k 1 对立事件公式 1 e 1 0.920 0.08. k 0 k !
现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认
为新药有效的概率．
15
解
P X 3 C 0.1 0.9
k 3 k 10 k
10
10 k
1 1 e k 3 k !
二项分布的泊松
10
k
0.0803.
近似
查泊松分布 表（附表1）
查泊松分布 表（附表1）
13
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
布的泊松近似．具体地讲，设
X ~ B n, p ,
k n k n k
Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算
P X k C p 1 p
,
那么可近似计算
P Y k
§2.3几种重要的离 散型分布
1
一、单点分布
如果一个随机变量X只有一个取值Ｃ，则称X 服从单点分布．显然，它的分布列为
P X C 1,
分布函数为
0, x C , F x 1, x C .
任何常数都可以看作是一个随机变量，并称
为常数值随机变量．
2
二、两点分布
n
二项式定理
每个
pk C p q
k n k
nk
恰好是二项式
p q
n
展开式中的各项，这就是“二项分布”这个名 称 的来历．
6
特别地，若 X ~ B 1, p , 则Ｘ服从参数为
p 的0-1分布．
例2.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，在各交通岗遇到红灯是相互独立的， 其概率均为0.4，求途中遇到红灯的概率.
1 C 0.4 0.6 0.784 .
0 3 0 3
8
例2.8 设随机变量X服从参数为 项分布，已知 P X 1 解 由
n, p 的二
19 求 , P X 2 . 27
19 3 P X 1 1 P X 0 1 1 p 27

k
k!
e , k 0, 1, 2,

,
其中 0, 则称Ｘ服从参数为 记作 X ~ P .
的泊松分布，
11
分布列正则性验证：
p k !e
k 0 k k 0



k

e

k! e
k 0


k

e

1.
服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在： ◎服务系统在单位时间内来到的顾客数； ◎击中飞机的炮弹数； ◎大量螺钉中不合格品出现的次数； ◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数； ◎母鸡在一生中产蛋的只数．