（10亿元）
上交所证券交易总额与二次型时间趋势模型拟合结果
需要说明的是，单纯从拟合效果 来判定模型设立形式并不一定是最合 适的选择，因为计量模型设立的另外 一个重要原则是简约（parsimony）。 对于非线性时间趋势模型更是如此。
（3）基于时间趋势模型的预测分析 假定我们现在处于时刻T，我们的 预测期是h，那么根据线性时间趋势模 型，我们可以写出h期以后序列y的点 预测值对应的表达式，即
金融计量学
张成思
中国人民大学财政金融学院
第5章 预测理论与应用
5.1 基本概念与预测 基于AR模型的预测
5.4 预测准确性度量指标
5.1 基本概念与预测初步 5.1.1 基本概念 预测集：考虑一个时序变量y，拥有历 史数据从1到T。假定没有任何其他信 息，那么对y的未来预测所依据的信息 集可以写成：
yt c t t
5.1.2 预测初步：基于时间趋势模型的 预测 （1）线性时间趋势模型 如果我们考虑变量yt对时间t进行 计量回归，并且考虑带有常数项c，那 么对应的线性时间趋势模型就是
yt c t t
yt c t t
其中ε表示随机扰动项，暂时假设为独 立同分布；β是回归模型的斜率系数，其正 负决定了y是增长趋势还是减弱趋势序列， 其大小决定了趋势序列的陡峭程度。另外， 在模型中，t的取值完全和时间一一对应。 在初始时点t=1，在第二个时点t=2，以此 类推。如果样本为T，那么t的取值就是（1， 2，…，T-1，T）。
图5-2 基于不同参数取值的时间 趋势序列
80 60 40 y1=10+0.6*t+e y2=-20-0.3*t+e
趋势
20 0 -20 -40 -60 10 20 30 40 50 60 时间 70 80 90 100
基于EViews的程序：
基于GAUSS的程序 ：
图5-3
160,000 140,000 120,000 100,000 80,000 60,000 40,000
1999
2001
2003
2005
2007
2009
2011
图5-4描绘的从1995年6月至2011
年4月上海证券交易所证券交易总额的 月度时间序列，从中我们就看到非常 明显的非线性走势。
二次型时间趋势模型是非线性趋 势模型中比较简单和常见的类型之一， 其模型可以写成
yt c 1t 2t t
从图5-3中不难看出，CLF似乎可 以大致用线性趋势模型来刻画其动态 路径。从拟合结果来看，在1980年之 后的区间内线性趋势模型对CLF的拟合 程度相对之前更高。
图5-4
（2）非线性时间趋势模型
6,000 5,000
(10亿元)
4,000 3,000 2,000 1,000 0
1995
1997
上述过程以线性时间趋势模型为
例，但对于非线性时间趋势模型，我 们仍然可以用类似的过程来进行预测。
5.2 基于MA模型的预测 MA(2)模型可以写成
y t t 1 t 1 2 t 2 2 t ~ WN (0, ) 其中WN表示“服从正态分布的白噪 音”，即“高斯白噪音” （Gaussian white noise）。
yT h c (T h) T h
实践中的预测结果实际上可以写成
ˆ (T h) ˆT h c ˆ y
获得了点预测值之后，还可以进 一步计算其对应的置信区间。以95%的 置信区间为例，置信区间上限界 ˆT h 1.96 ˆ，其中 为y ˆ 表示回归模型 中扰动项的标准差估计值。
12,000 8,000 4,000 0 -4,000 -8,000 1951 1961 1971 1981 1991
残差 CLF实际值 拟合值
2001
2011
美国平民劳动力人口与线性时间趋势模型拟合结果
图5-3描绘了美国平民劳动力人 口数量（Civilian Labor Force，以 CLF表示）的原始序列，同时报告了以 CLF作为因变量的线性时间趋势模型回 归后（使用OLS回归）的拟合序列。
T yT , yT 1, yT 2 ,
, y1
这种信息集称为单变量信息集。
如果还有其他变量x也影响y的未来 走势，那么就形成多变量信息集，即：
T yT , yT 1, yT 2 , , y1, xT , xT 1, xT 2 , , x1
预测期 预测期（forecasting horizon）是 指当期与预测对应的日期之间的时间 间隔。 预测分析中经常使用“向前h-期预 测”这样的表述，其中h就表示预测期。
2
因为上面的模型中时间趋势项的 最高阶是二次方的形式，所以这样的 模型称为二次型时间趋势模型。
图5-5
6,000 残差序列 上交所证券交易总额实际值 拟合值 3,000 2,000 1,000 0 -1,000 -2,000 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000 0
图5-1预测期为4期的点预测
30 29 28 27 26 25 24 23 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 样本内历史数据 样本外预测： 预测期为 4期
最优预测 最优预测（optimal forecast）是 指在给定信息集下，预测结果能够最 小化预测损失（假定存在损失函数）。 在一般情况下，可以证明给定信 息集下的条件期望就是最优预测，即 E(yT+h|ΩT)。
T+1时刻的点预测值就可以写成
yT 1 T 1 1T 2T 1
yT 1,T P( yT 1 T ) 0 1T 2T 1
继续对T+2期进行预测
yT 2 T 2 1T 1 2T
yT 2,T P( yT 2 T ) 0 0 2T 2T