课题数列的极限一、教育目标(一)知识教学点：（1）理解数列极限的定义，即“ε—N 定义”；能说出ε、N 的涵义；懂得n 与N 的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势。

(二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N 定义”及求数列的极限及证明．(三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点． 二、教学分析1．重点：数列极限“ε—N 定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N ，用不等式来进行定量描述．2．难点：ε与N 的涵义，n 与N 的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决． 3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明． 三、活动设计1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习． 2．教具：投影仪(或小挂图．) 四、教学过程1．数列变化趋势的定性描述：考察两个实例：即两个无穷数列；0.9，0.99，0.999, (1)n101,…,(1) 1,21, 41, …, n 21, …, (2) 容易看出：当项数n 无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．．数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：出示投影仪(或小挂图)2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N ，即怎样定量描述“数列（1）中的项无限趋近与1,请看：对数列｛1-n101｝（1），无论预先给定的ε多么小，总能在数列（1）中找到这样的一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式：︱（1-4101）-1︱=4101< 0.001， ︱（1-5101）-1︱=5101< 0.001… 皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n101< 0.001 恒成立。

再给定ε=0.000001，情形怎样呢？学生回答:此时，存在自然数N ＝6，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n101< 0.000001恒成立。

类比分析，从具体到抽象，得出：“无论预先给多么小的正数ε，总存在着这样的自然数N ，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n101<ε恒成立．”事实上，无论预先给定多么小的正数ε，确实存在着这样的自然数N ．这时，可以说数列(1)的极限是1. 3．数列极限的定义：设有数列{a n }，如果存在常数A,使得预先给定的无论怎样小的正数ε，总存在正整数N ，只要n ＞N,所对应的a n 就都满足不等式：︱a n -A ︱< ε，此时，就把常数A 叫着数列{a n }的极限． 记作∞→n lim a n =A, 读作“当n 趋向于无穷大时，a n 的极限等于A ”上述定义可简述为：任给ε＞0，如果总存在自然数N ，当n ＞N 时，不等式︱a n -A ︱< ε恒成立，就说数列{a n }的极限是A ，注：∞→n lim a n =A 有时也可以记作当n →∞时，a n →A .从数列的极限定义可以看出，数列{a n } 以A 为极限，当n 无限增大时，数列{a n }中的项无限趋近于A ，即a n 与A 的差的绝对值无限趋近于零。

4．举例例1． 已知数列：21，32，43，…,1+n n,… （1） 计算∣a n -1∣.（2） 第几项后面所有项与1的差的绝对值都小于1001？什么时候都小于任意给定的正数ε？(3)确定这个数列的极限． 解：（1）∣a n -1∣=︱1+n n -1 ︳=︱11+-n ︱=11+n （2）要使11+n < 100，就要使n+1＞100,即n ＞99,就是说，第99项后面的所有项与1的差的绝对值都小于1001。

要使∣a n -1∣<ε，即要11+n <ε，即n ＞ε1 - 1,取N=[ε1 - 1]，那么第N 项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．（3） 因为ε＞0，存在N ，当n ＞N 时，∣a n -1∣<ε恒成立所以∞→n lim a n =1，即这个数列的极限为1.例2．求证常数数列，－a ，－a ，－a ，…的极限．解：任意给定ε＞0，总存在自然数N(不妨取N ＝1)，当n ＞N 时，不等式：|－a －(－a)|=0＜ε恒成立所以∞→n lim （-a ）=-a例3.已知a n =2)1()1(+-n n，证明数列a n 的极限是零.证 任意给定ε＞0（设0＜ε＜1）因为∣a n -0∣=︱2)1()1(+-n n-0︱=2)1(1+n ＜11+n要使∣a n -1∣<ε，只要11+n ＜ε即n ＞ε1 - 1.因此可取N=[ε1 - 1]，则当n ＞N 时就有，︱2)1()1(+-n n-0︱＜ε 即∞→n lim 2)1()1(+-n n=0 例3.求证：数列{121++n n }的极限时21证 ︱121++n n -21︱=︱)12(2)12(22++-+n n n ︱=241+n 欲使︱121++n n -21︱＜ε，只需解不等式241+n ＜ε，即4n+2＞ε1，解得 n ＞2141-ε,取N=[2141-ε]，当n ＞N 时就有：︱121++n n -21︱＜ε恒成立。

数列的极限是21，即∞→n lim 121++n n =215．关于“ε—N 定义”的两点说明(1)ε与N 的关系：从例1、例3可以看出：对于预先任意给定ε＞0，为找到这样的自然数，使当 n ＞N 时，︱a n -A ︱<ε恒成立，把ε看作已知数，从解不等式︱a n -A ︱<ε入手，然后再确定N ，如要确定数列{1-n101}的第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意给定的正数ε，解不等式︱(1-n 101)-1︱=n101＜ε可得n ＞㏑ε1(可令ε＜1)取N=[㏑ε1]，当n ＞N 是时，︱(1-n 101)-1︱＜ε恒成立.即：如果已知数列{a n }的极限是A ，对任意给定的ε＞0，总可以求出N ，从这个意义上说，可以把N 看作ε的函数，所以有时把N 记作N(ε)． （2）a n 与A 的关系：数列{a n }的极限是A ，a n 可能比A 小而无限趋近于A ，如数列{1-n101}；a n 也可能比A 大而无限趋近于A ，如数列{(-1)nn 21}；a n 也可能等于A ；如常数数列{－7}． 6．消除疑点ε的绝对任意性和相对的确定性：(1)就极限的全过程来说，ε必须具有绝对的任意性.只有这样，当n ＞N 时，︱a n -A ︱< ε恒成立，才能表明{a n }无限趋近于A ，（2） 就极限全过程的某一阶段来说，ε又是具体给定的，即相对确定性，如取ε＝0.1，ε=0.01，ε=0.001,…这样有不等式︱a n -A ︱< 0.1，︱a n -A ︱< 0.01，︱a n -A ︱< 0.001；等等都成立。

表明数列{a n }趋近A 的无限过程。

Ε的绝对任意性是通过无限多个相对确定性表示出来的． 7．数列极限的存在性并不是每个数列都有极限．反例：①如数例{n}不存在极限，因为当项数n 无限增大时，数列中的项n 也无限增大，反例：（2）如数例{(-1)n}，当项数n 无限增大时，即n →∞，数列中的项(-1)n时而为（-1），时而为1，所以这个数列不存在极限。

9．总结对照板书的设计内容，强调讲述： (1)数列极限的“ε—N 定义”．（2）ε与N 的关系：当{a n }极限存在时，对任意给定ε＞0，总可以通过解不等式︱a n -A︱<ε，来确定N ，从这点而言，可以把ε的函数 (3)ε的绝对任意性和相对确定性的辩证关系的理解 (4)会依据“ε—N ”定义，求证简单数列的极限． 五、布置作业1.已知数列4-101，4-201 ，4-301 ，…,4-n101,…（1）计算∣a n -4∣.(2)第几项后面所有项与4的差绝对值都小于0.01？都小于任意指定的正数ε？(3)确定这个数列的极限．解（1）∣a n -4∣=I 4-n 101-4 I=n101（2）解不等式∣a n -4∣<0.01，即In101I < 0.01，n ＞10，所以，第10向后面的所有项与4的差的绝对值都小于0.01；解不等式∣a n -4∣<ε，即n 101<ε可得n ＞ε101.取N 为ε101的整数部分，N=[ε101]，所以，第N 项后面的所有项与4的差的绝对值都小于任意指定的正数ε． (3)由(2)可知，这个数列的极限为4．2. 证明：等比数列1,q , q 2,…, q 1-n ,…当∣q ∣< 1时的极限是0.证 任意给定ε＞0设（ 0<ε<1 ）因为∣a n -0∣= ∣q 1-n -0∣=∣q ∣1-n ，要使∣a n -0∣<ε，只要∣q ∣1-n <ε取自然对数得（n-1）㏑∣q ∣< ㏑ε，因∣q ∣< 1则㏑∣q ∣< 0，故n ＞1+(㏑ε)/㏑∣q ∣.取N=[ 1+(㏑ε)/㏑∣q ∣ ],当n ＞N 时，就有∣q 1-n -0∣<ε，即∞→n lim q1-n =03．求证：数列{2312++n n }的极限是32证 任意给定ε＞0，因为∣a n -32∣=∣2312++n n -32∣=∣)23(3)23(236++-+n n n ∣=∣691+-n ∣=691+n ，要使∣a n -32∣<ε，只需解不等式691+n <ε，即9n+6 >ε1,解得n >ε91-32 取N=[ε91-32] 所以，对任意给定ε＞0，总存在自然数N=[ε91-32]，当n > N 时，不等式∣2312++n n -32∣<ε恒成立.所以，数列数列{2312++n n }的极限是32，即∞→n lim 2312++n n =324.先求数列{0.11…1}的极限，再用“ε—N 定义”证明．解：n a =101+2101+…+n 101=)1011(91n -,由上式可知数列的极限为91，即∞→n lim n a =∞→n lim )1011(91n -=91 下面用ε－N 定义证明之任给定ε＞0，︱n a -91︱=︱)1011(91n --91︱=n 1091⨯，要使︱n a -91︱<ε，只需n1091⨯<ε解不等式n10＞ε91，即n=㏑ε91取N=[ε91]，当n ＞N 时，︱na -91︱<ε恒成立所以∞→n lim n a =∞→n lim)1011(91n -=91.六、板书设计数列的极限张香丽。