）
5．
f ' (a) ≠ （
）
f ( x) − f (a ) ( A) lim ； x →a x−a f (t − a ) − f ( a ) (C ). lim ； t →0 t
2
f ( a ) − f ( a − ∆x ) ( B ). lim ； ∆x →0 ∆x s s f (a + ) − f (a − ) 2 2 ( D ). lim S →0 s
2、单侧导数 、
当 当 • 微分 :
时,为右导数 时,为左导数
• 关系 : 可导
可微
（常数和基本初等函数的导数公式） 2、基本导数公式 常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 (log a x ) ′ = x ln a 1 (arcsin x ) ′ = 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、
可导， 设 u = u( x ), v = v ( x )可导，则 ） 是常数), （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）(cu)′ = cu′ ( c 是常数 ）
′ ′ ） ） （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0). v v ′ ′
x→0
= 100!
f (x) 在 x = 2 处连续,且 lim f (x) = 3, 3.设 例3.设 处连续, x→2 x − 2 求 f ′(2) . lim f (x) = lim[(x − 2) ⋅ f (x) ] = 0 解: f (2) = x→2 x→2 (x − 2)
f (x) − f (2) f ′(2) = lim x→2 x−2 f (x) = lim =3 x→2 x − 2
微分的实质) 微分dy叫做函数增量∆y的线性主部. (微分的实质)
6、导数与微分的关系
定理 函数f ( x)在点x0可微的充要条件是函数f ( x)
在点x0处可导, 且 A = f ′( x0 ).
7、 微分的求法
dy = f ′( x )dx
求法:计算函数的导数 乘以自变量的微分 乘以自变量的微分. 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分
x 3 1 + + 所以 y′ = ( x + 1)(3x − 4)( x − 1) 2 x + 1 2(3x − 4) 2( x − 1)
2
测验题
一、选择题： 选择题： 定义为（ 1、函数 f ( x ) 在点 x 0 的导数 f ′( x 0 ) 定义为（ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) （A） ； ∆x f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) （B） lim ； x → x0 ∆x f ( x) − f ( x0 ) ； （C） lim x → x0 ∆x f ( x) − f ( x0 ) （D） lim ； x → x0 x − x0 ）
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 求出导数 适用范围: 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数u( x ) v ( x ) 的情形 .
(5) 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
f −′ ( 2) ≠ f +′ ( 2), ∴ f ( x )在x = 2处不可导 .
3 x 2 − 4 x , x > 2, 或x < 0 f ′ ( x ) = 0, x = 0, − 3 x 2 + 4 x ,0 < x < 2 ,
例5. 设 处的连续性及可导性. 解: 所以 又 在 处连续.
不连续， 2 、若函数 f ( x ) 在点 x 0 不连续，则 f ( x ) 在 x 0 ( 必不可导； 必定可导； （A ）必不可导； （B ）必定可导； 不一定可导； （C ）不一定可导； （D ）必无定义 .
)
e ax , x ≤ 0 处处可导， 处处可导，那末 （ 3 、如果 f ( x ) = 2 b(1 − x ), x > 0 （A ） a = b = 1 ； （B ） a = − 2, b = − 1 ； （ C ） a = 1, b = 0 ； （D ） a = 0, b = 1 .
一、主要内容 关 系 dy = y′ ⇔ dy = y′dx ⇔ ∆y = dy + o(∆x)
dx
基本公式 导 数 高阶导 = y′∆x
求 导 法 则
1、导数的概念
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y 1、 y′ x= x = lim = lim 0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
无论x是自变量还是中间变量,函数y = f ( x) 的微分形式总是 dy = f ′( x)dx
二、典型例题
例1 设 f ( x) = x( x − 1)( x − 2)L( x − 100),
求 f ′(0).
解
f ( x) − f (0) f ′(0) = lim x→0 x−0
= lim( x − 1)( x − 2)L( x − 100)
基本初等函数的微分公式
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx d (tan x ) = sec 2 xdx
d ( a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d (arctan x ) = dx 2 1+ x
d 2 y d 2 f ( x) f ′′( x), y′′, 2 或 . 2 dx dx
一般地,函数f ( x)的n − 1阶导数的导数称为 函数f ( x)的n阶导数, 记作
d n y d n f ( x) f (n) ( x), y(n) , n 或 . n dx dx
5、微分的定义 、
定义 设函数y = f ( x)在某区间内有定义, x0及x0 + ∆x
d ( x µ ) = µx µ −1 dx d (cos x ) = − sin xdx d (cot x ) = − csc 2 xdx
d ( e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x 1 d (arccos x ) = − dx 2 1− x 1 d (arc cot x ) = − dx 2 1+ x
）
4． f (x ) 在 ( a, b) 内连续，且 x0 ∈ (a, b) ，则在 x 0 处 （ 内连续， 极限存在，且可导； （A） f (x ) 极限存在 ，且可导 ； 极限存在，且左右导数存在； （B） f (x ) 极限存在 ，且左右导数存在； 极限存在，不一定可导； （C） f (x ) 极限存在 ，不一定可导； 极限存在，不可导. （D） f (x ) 极限存在 ，不可导.
( x µ )′ = µx µ −1 (cos x )′ = − sin x (cot x )′ = − csc 2 x (csc x )′ = − csc xctgx (e x )′ = e x 1 (ln x )′ = x (arccos x )′ = − 1 1 − x2 1 (arccot x )′ = − 1 + x2
例4 设函数y = f ( x)由方程x y = y x( x > 0, y > 0)
d y 所确定, 求 2 . dx
1 1 解 两边取对数 ln y = ln x , 即y ln y = x ln x , x y ln x + 1 ′= y , ∴ (1 + ln y ) y ′ = ln x + 1, 1 + ln y 1 1 (ln y + 1) − (ln x + 1) ⋅ y ′ x y y ′′ = (1 + ln y ) 2
, 在这区间内 如果 ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = A⋅ ∆x + o(∆x) 成立(其中A是与∆x无关的常数), 则称函数y = f ( x) 在点x0可微, 并且称A⋅ ∆x为函数y = f ( x)在点x0相应 于自变量增量∆x的微分, 记作dy x= x0 或df ( x0 ),即 dy x= x0 = A⋅ ∆x.
1 1 1 1 1 1 , = ′ Q yu = )= − 4 2 4 2 + ( 1− u − 2x − x 2(1 + u ) 4 u + 1 u − 1
x , u′ = ( 1 + x )′ = x 2 1+ x 1 ′ =− . ∴ yx 3 2 (2x + x ) 1 + x
2
例5
设f ( x) = x x( x − 2) , 求 f ′( x).
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
f ′( x + ∆x) − f ′( x) , 二阶导数 ( f ′( x))′ = lim ∆x→0 ∆x
记作
d3 y 二阶导数的导数称为三阶导数, 二阶导数的导数称为三阶导数 f ′′′( x), y′′′, 3 . dx
f ′( x ) = 3 x 2 − 4 x ; f ′ ( x ) = − 3 x 2 + 4 x;