第12讲二次函数的图象与性质(时间60分钟满分110分)A卷一、选择题(每小题3分，共21分)1．(2017²长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4顶点坐标是( A )A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)2．(2017²陕西)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( C )A．(1，－5) B．(3，－13)C．(2，－8) D．(4，－20)3．(2017²玉林)对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( D )A．开口向下B．对称轴是x＝mC．最大值为0 D．与y轴不相交4．(2017²连云港)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)、B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( C )A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞05．(2017²乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是( D )A.32B. 2C.32或 2 D．－32或 26．(2016²毕节)一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( D )7．(2017²烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( C )A ．①④B ．②④C ．①②③D ．①②③④二、填空题(每小题3分，共21分)8．(2017²上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是_y ＝2x 2－1_.(只需写一个)9．(2017²兰州)如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的P(4，0)，Q 两点关于它的对称轴x ＝1对称，则Q 点的坐标为_(－2，0)_．第9题图第10题图10．(2017²牡丹江)若将图中的抛物线y ＝x 2－2x ＋c 向上平移，使它经过点(2，0)，则此时的抛物线位于x 轴下方的图象对应x 的取值范围是_0＜x ＜2_.11．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为_40_元．12．(2017²武汉)已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)．若2＜m ＜3，则a 的取值范围是_13＜a ＜12或－3＜a ＜－2_.13．(2017²咸宁)如图，直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x 的不等式mx ＋n ＞ax 2＋bx ＋c 的解集是_x ＜－1或x ＞4_.第13题图第14题图14．(2017²贺州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a ＋b ＜0；③b 2－4ac ＝0；④8a＋c ＜0；⑤a∶b∶c＝－1∶2∶3，其中正确的结论有_①④⑤_.(导学号 58824141)三、解答题(本大题3小题，共31分)15．(10分)(2017²达州)宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧7.5x （0≤x≤4），5x ＋10（4＜x≤14）.(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数图象如图．工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？解：(1)根据题意，若7.5x ＝70，得：x ＝283＞4，不符合题意；∴5x＋10＝70，解得：x ＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件； (2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P ＝40， 当4＜x≤14时，设P ＝kx ＋b ， 已知(4，40)、(14，50)， ∴P ＝x ＋36；①当0≤x≤4时，W ＝(60－40)²7.5x＝150x ， ∵W 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，W 最大＝600元；②当4＜x≤14时，W ＝(60－x －36)(5x ＋10)＝－5x 2＋110x ＋240＝－5(x －11)2＋845， ∴当x ＝11时，W 最大＝845，∵845＞600，∴当x ＝11时，W 取得最大值845元． 答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．16．(10分)(2017²本溪模拟)我市是世界有机蔬菜基地，数10种蔬菜在国际市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市时，某经销商按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克某种蔬菜存放入冷库中．据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计340元，而且这种蔬菜在冷库中最多保存110天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．(1)若存放x 天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)经销商想获得利润22500元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？(利润＝销售总金额－收购成本－各种费用)(3)经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ (导学号 58824142)解：(1)由题意得y 与x 之间的函数关系式为y ＝(10＋0.5x)(2000－6x)＝－3x 2＋940x ＋20000(1≤x≤110)；(2)由题意得：－3x 2＋940x ＋20000－10³2000－340x ＝22500， 解方程得：x 1＝50，x 2＝150(不合题意，舍去)经销商想获得利润22500元需将这批蔬菜存放50天后出售；(3)设最大利润为W ，由题意得W ＝－3x 2＋940x ＋20000－10³2000－340x ＝－3(x －100)2＋30000，∴当x ＝100时，W 最大＝30000. ∵100天＜110天．∴存放100天后出售这批蔬菜可获得最大利润30000元．17．(11分)(2017²大连)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且经过点A(0，32)．(1)若此抛物线经过点B(2，－12)，且与x 轴相交于点E ，F.①填空：b ＝_－2a －1_(用含a 的代数式表示)；②当EF 2的值最小时，求抛物线的解析式；(2)若a ＝12，当0＜x ＜1，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为3时，求b 的值．解：(1)②由①可得抛物线解析式为y ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋32，令y ＝0可得ax 2－(2a ＋1)x＋32＝0， ∵b 2－4ac ＝(2a ＋1)2－4a³32＝4a 2－2a ＋1＝4(a －14)2＋34＞0，∴方程有两个不相等的实数根，设为x 1、x 2， ∴x 1＋x 2＝2a ＋1a ，x 1x 2＝32a，∴EF 2＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2－2a ＋1a 2＝(1a－1)2＋3， ∴当a ＝1时，EF 2有最小值，即EF 有最小值， ∴抛物线解析式为y ＝x 2－3x ＋32；(2)当a ＝12时，抛物线解析式为y ＝12x 2＋bx ＋32，∴抛物线对称轴为x ＝－b ，∴只有当x ＝0、x ＝1或x ＝－b 时，抛物线上的点才有可能离x 轴最远，当x ＝0时，y ＝32；当x ＝1时，y ＝12＋b ＋32＝2＋b ；当x ＝－b 时，y ＝12(－b)2＋b(－b)＋32＝－12b 2＋32，①当|2＋b|＝3时，b ＝1或b ＝－5，且顶点不在0＜x ＜1范围内，满足条件； ②当|－12b 2＋32|＝3时，b ＝±3，对称轴为直线x ＝±3，不在0＜x ＜1范围内，故不符合题意，综上可知b 的值为1或－5.B 卷1．(3分)(2017²天津)已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( A )A ．y ＝x 2＋2x ＋1B ．y ＝x 2＋2x －1C ．y ＝x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2－2x －12．(3分)(2016²陕西)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为( D )A .12B .55 C .255D ．2 (导学号 58824143)3．(3分)(2017²盘锦模拟)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x ＝2，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a＋3b ＋c ＜0；③c＞－1；④关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有一个根为－1a .其中正确的结论个数有_①③④_(填序号)4．(3分)(2017²铁岭模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以点A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间(C 不与A 、B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为_a ＋4_(用含a 的式子表示)．第4题图第5题图5．(3分)如图，Rt △OAB 的顶点A(－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为2)_．6．(11分)(2017²扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)p 与x 之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元(a ＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 的值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)(导学号 58824144)解：(1)p ＝－30x ＋1500，检验：当x ＝35，p ＝450；当x ＝45，p ＝150；当x ＝50，p ＝0，符合一次函数解析式， ∴所求的函数表达式为p ＝－30x ＋1500；(2)设日销售利润w ＝p(x －30)＝(－30x ＋1500)(x －30)，即w ＝－30x 2＋2400x －45000，∴当x ＝－24002³（－30）＝40时，w 有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；(3)日获利w ＝p(x －30－a)＝(－30x ＋1500)(x －30－a)，即w ＝－30x 2＋(2400＋30a)x －(1500a ＋45000)，对称轴为x ＝－2400＋30a 2³（－30）＝40＋12a ，①若a ＞10，则当x ＝45时，w 有最大值，即w ＝2250－150a ＜2430(不合题意)；②若a ＜10，则当x ＝40＋a 时，w 有最大值，将x ＝40＋a 代入，可得w ＝30(a 2－10a ＋100)，当w ＝2430时，2430＝30(14a 2－10a ＋100)，解得a 1＝2，a 2＝38(舍去)，综上所述，a 的值为2.7．(11分)(2017²临沂)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3经过点A(2，－3)，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D 的坐标；(3)点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；(2)如解图①，连接AC ，作BF⊥AC 交AC 的延长线于点F ，∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF ∥x 轴，∴F(－1，－3)，∴BF ＝3，AF ＝3，∴∠BAC＝45°，设D(0，m)，则OD＝|m|，∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，∴D1(0，1)，D2(0，－1)；图①(3)设M(a，a2－2a－3)，N(1，n)①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN，如解图②，过M作ME垂直对称轴于点E，AF垂直x 轴于点F，则△ABF≌△NME，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2，∴M(4，5)或(－2，5)；②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如解图③，则N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)，综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．图②图③。