《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题
知识点１ 有关相似形得概念
(1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、
(２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、
知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质
(1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容:
(2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为:
注:①黄金三角形:顶角就是３６０
得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。
注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、
（4）等比性质:如果,
那么、
知识点3 比例线段得有关定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,
已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ,
可得
AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC
BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====
或或或或等。
特别在三角形中:
由ＤE ∥B Ｃ可得:
知识点４ 相似三角形得概念
(1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。
相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、
注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。
③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、
(2)三角形相似得判定方法
B
1、平行法:(图上)平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边得延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。
2、判定定理1:简述为:两角对应相等,两三角形相似。
AA
3、判定定理2:简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
SAS
4、判定定理3:简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
ＳS Ｓ
5、判定定理4:直角三角形中,“HL" 全等与相似得比较:
如图,Rt △AB Ｃ中,∠BAC=90°,A Ｄ就是斜边BC 上得高,
则 ∽ ＝＝＞ AD 2
=ＢＤ·DC,
∽ =＝> AB ２
＝BD ·B Ｃ ,
∽ ＝＝＞ A Ｃ2
=ＣD ·BC 。
知识点5 相似三角形得性质
(１)相似三角形对应角相等,对应边成比例、 (２)相似三角形周长得比等于相似比、
(3)相似三角形对应高得比,对应中线得比与对应角平分线得比都等于相似比。
(4)相似三角形面积得比等于相似比得平方、
知识点6 相似三角形得几种基本图形:
（1
） 如图:称为“平行线型”得相似三角形(有“Ａ型"与“Ｘ型”图)
(2) 如图:其中∠1=
∠2,则△A ＤE ∽△AB Ｃ称为“斜交型”得相似三角形。
(有“反A 共角型”、
“反A 共角共边型"、 “蝶型”)
A
B C D
E 12A A B
B C C D D E E 12412B (3)B
(３)一线三等角得变形:
知识点7 等积式证明题常用方法归纳:
(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例"找“相似”
(2)找相似:通过“横找"“竖瞧”寻找三角形,即横向瞧或纵向寻找得时候一共各有三个不同得字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能就是相似得,则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证得所需得结论、
(3)找中间比:若没有三角形(即横向瞧或纵向寻找得时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用得“替换”方法有这样得三种:等线段代换、等比代换、等积代换、
即:找相似找不到,找中间比。
方法:将等式左右两边得比表示出来。
(4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效得话,可以考虑添加辅助线(通常就是添加平行线)构成
比例、
注:添加辅助平行线就是获得成比例线段与相似三角形得重要途径。
平面直角坐标系中通常就是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。
知识点8 相似多边形得性质
(1)相似多边形周长比,对应对角线得比都等于相似比、
(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形得相似比、
(3)相似多边形面积比等于相似比得平方、
注意:相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识就是基础与关键、
知识点9 位似图形有关得概念与性质
(１) 位似图形就是相似图形得特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点得连线相交于一点。
(2) 位似图形一定就是相似图形,但相似图形不一定就是位似图形、
(3) 位似图形得对应边互相平行或共线、
(4)位似图形具有相似图形得所有性质、
位似图形得性质:
①位似图形上任意一对对应点到位似中心得距离之比等于相似比。
②在平面直角坐标系中,如果位似就是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点得坐标比等于ｋ或-k、(若位似中心不就是原点,则向坐标轴作垂直构造直角三角形,利用相似解决或就是先平移到原点,求出对应点得坐标再平移回去)
第7题图
知识点一:平行线成比例定理 典型例题
例1、如图,平行四边形中
例2。
如图,平行四边形ABC Ｄ得对角线AC 与BD 相交于O,E 就是ＣD 得中点,ＡＥ交B Ｄ
于F,则ＤＦ:FO=___＿_。
跟踪练习1:如图,平行四边形ＡBCD 中,O 1、O ２、O 3为对角线BD 上三点,且ＢO １＝O 1Ｏ2=O 2O ３＝O 3Ｄ,连结AO 1并延长交B
Ｃ
于点E,连结EO 3并延长交ＡD 于F,则ＡD:F Ｄ等于( )、
Ａ、19:2; B 、9:1; C 、8:1; D 、７:1
2、如图,在平行四边形A ＢCD 中R 在BC 得延长线上,ＡR 交BD 于Ｐ,交CD 于Ｑ,若DQ ∶Ｃ
Q ＝4:３,则ＡP ∶P Ｒ=
3、(2０１５•湖南株洲,第7题3分)如图,已知AB 、CD 、ＥF 都与BD 垂直,垂足分别就是B 、Ｄ、F ,且A Ｂ＝１,C Ｄ＝3,那么EF 得长就是ﻩ( )ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ A 。
Ｂ、ﻩ Ｃ、ﻩ Ｄ、ﻩﻩﻩ
ﻩﻩﻩ
4、(２01５•甘肃武威,第9题3分)如图,Ｄ、E分别就是△ＡBC得边AB、BC上得点,DE∥AC,若S△ＢD
=１:3,则S△ＤOＥ:S△AOC得值为( ) ﻩﻩﻩ
Ｅ:S△CDE
A、ﻩ
B、ﻩ
C、ﻩD。
ﻩﻩﻩﻩ
ﻩ
ﻩﻩﻩ
5、(２01５•四川乐山,第5题3分)如图,∥∥,两条直线与这三条平行线分别交于点A、Ｂ、C与Ｄ、E、
F、已知,则得值为( )ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ
Ａ、Ｂ、C、Ｄ、ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ
知识点二、相似三角形得判定
典型例题
例1、如图,CＤ就是Rt△AＢＣ斜边上得中线,过点D垂直于直线AB得直线交BC与点F,交AC得延长线于点E,求证:
证
例３、如图,在⊿ABC 中,ＡD 就是角平分线,Ｅ就是AD 上得一点,且ＣE = CD,求证:
例４、已知,如图,在△AB Ｃ中,∠C ＝600,AD ⊥ＢC 于D,BE ⊥AC 于E,试说明△CDE ∽△CBA 、
课后自我练习
1、如图,在△ＡBC 中,AD 为中线,CF 为任意直线且交AD 于点E,交ＡB 于点F,
求证: =
2、 如图,已知,试说明:ＡB ·EC=ＡC ·BD 。
３、 在△ABC 中,M 就是AC 边得中点,且AE ＝BA,连接EM,并延长交BC 得延长线于D,
A
B D
E
求证: BC ＝2CD
4、已知,如图,F 为 ＡＢCD 边DC 延长线上一点,连结A Ｆ,交ＢC 于G,交ＢＤ于E,试说
明AE ２=E Ｇ·EF
5、已知:在△ＡBC 中,∠B ＡＣ＝90０ A Ｄ⊥ＢC 于D,P 为AD 中点,ＢP 延长线交A Ｃ于E,ＥF ⊥ＢC 于F , 求证: EF ２=A Ｅ·A Ｃ
A B C
F G E D。