《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ΛΛ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ΛΛ．FE D CB A知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”（3）射影定理：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．E ABCD DB CA(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）(3)一线三等角的变形:知识点7 等积式证明题常用方法归纳：(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成 比例.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

知识点8 相似多边形的性质AB C DE 12A A BB C C D D E E 12412(1)E AB C D(3)D B C AE(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比． (3)相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．知识点9 位似图形有关的概念与性质（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. （4）位似图形具有相似图形的所有性质.位似图形的性质：① 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.②在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于k 或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）知识点一：平行线成比例定理 典型例题例1、如图，平行四边形ABCD 中，上的一点，是43=EC BE BC E ，于点交F BD AE=BF 的值。

及，求DF DABEcm 6例2.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，E 是CD 的中点，AE 交BD 于F ，则DF:FO ＝_____。

跟踪练习1：如图，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3为对角线BD 上三点，且BO 1＝O 1O 2＝FE DCBA第7题图FE BDA CO 2O 3＝O 3D ，连结AO 1并延长交BC 于点E ，连结EO 3并延长交AD 于F ，则AD:FD 等于（ ）。

A 、19:2；B 、9:1；C 、8:1；D 、7:12、如图，在平行四边形ABCD 中R 在BC 的延长线上，AR 交BD 于P ，交CD 于Q ，若DQ ∶CQ ＝4:3，则AP ∶PR ＝3、(2015•湖南株洲,第7题3分)如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A ．13B ．23C ．34D ．454、（2015•甘肃武威,第9题3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、（2015•四川乐山,第5题3分）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．Q RPDCBA知识点二、相似三角形的判定典型例题例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，过点D 垂直于直线AB 的直线交BC 与点F ，交AC 的延长线于点E ，求证：DF DE CD ⋅=2例2、在⊿ABC 中，AD 是∠BAC 的外角平分线，CE ∥AB ，求证AC AD DE AB •=•例3、如图，在⊿ABC 中，AD 是角平分线，E 是AD 上的一点，且CE = CD ，求证：AD AC AE AB •=•例4、已知，如图，在△ABC 中，∠C=600，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，试说明△CDE ∽△CBA 。

F A B E CD ABCDEFABCDEAB C DE课后自我练习1.如图，在△ABC 中，AD 为中线，CF 为任意直线且交AD 于点E ，交AB 于点F ，求证：ED AE =FBAF22. 如图，已知AB AC BC ADAEDE==，试说明：AB ·EC ＝AC ·BD 。

3. 在△ABC 中，M 是AC 边的中点，且AE=41BA ，连接EM ，并延长交BC 的延长线于D ， 求证: BC=2CDAB CDEEDBCAF4.已知，如图，F 为 ABCD 边DC 延长线上一点，连结AF ，交BC 于G ，交BD 于E ，试说明AE 2=EG ·EF5、已知：在△ABC 中，∠BAC=900 AD ⊥BC 于D ，P 为AD 中点，BP 延长线交AC 于E ，EF ⊥BC 于F ， 求证： EF 2=AE ·ACA B CF G E D。