相似三角形知识点整理 重点、难点分析� 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点� 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。

☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套�比例的有关性质��涉及概念�①第四比例项②比例中项 ③比的前项、后项�比的内项、外项④黄金分割等。

第二套�二、有关知识点� 1.相似三角形定义� 对应角相等�对应边成比例的三角形�叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法�用符号“∽”表示�读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比� 相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理� 平行于三角形一边的直线和其他两边�或两边的延长线�相交�所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理� (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下� 反比性质�c d a b � 更比性质�d b c a a c bd��或 合比性质�d d c b b a ��� ����b c a d d c b a �比例基本定理� ban d bm c an d b nmdcba�������������������:)0(等比性质相似基本定理 推论 (骨干定理) 平行线分线段成比例定理 (基本定理) �应用于△中 相似三角形判定定理定理1 定理2 定理3 R t △ 推论 推论的逆定理 推论类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SA S S S S AA S �A S A � H L 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理�这就是我们数学中的用类比的方法�在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似� (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例�那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理� (1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比�对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 相似三角形的传递性 如果△A B C ∽△A 1B 1C 1�△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2�那么△A B C ∽A 2B 2C 2 9、三角形三条中线的交点叫做重心�三角形的重心到一个顶点的距离�等于它到对边中点距离的的两倍。

10、向量、 1、实数与向量相乘法则设n m ,为实数�则 �1�a m n a n m ��)()(� �2�a m a m a n m ������)( �3�b n a m b a m �������)( 2.平行向量定理�如果向量b �与非零向量a �平行�那么存在唯一的实数,m使a m b ��� 3.单位向量 我们把长度为1的向量叫做单位向量。

设e �为单位向量�则1�e�。

对于任意非零向量a ��与它同方向的单位向量记作0a �,则 a aa a a a������1,00��4.线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。

如b a 23��b a 2�、)5(3b a �等�都是向量的线性运算。

5.线性组合 如果.,b a 是两个不平行的向量�x 、y 是实数�那么b y a x �叫做.,b a 线性组合。

如.,b a 两个不平行的向量�向量,23b a O E ���这时就说O E 是.,b a 的线性组合。

6.线性分解 如果.,b a 是两个不平行的向量�x 、y 是实数�那么对于任意一个向量c 都可由.,b a 的线性组合表示c �b y a x ��也叫线性分解。

a x 是在a 方向上的分向量�b y 是在b 方向上的分向量。

三、注意 1、相似三角形的基本定理�它是相似三角形的一个判定定理�也是后面学习的相似三 角形的判定定理的基础�这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。

在利用定理证明时要注意A 型图的比例AD AB D E BC A E A C ���每个比的前项是同一个三 角形的三条边�而比的后项是另一个三角形的三条对应边�它们的位置不能写错�尤其是要防止写成AD DB D E BC A E E C ��的错误。

2、 相似三角形的基本图形Ⅰ.平行线型�即A 型和8型。

Ⅰ.相交线型 A.具有一个公共角� 在△A B C 与△A D E 中∠A 是它们的公共 角�且∠A D E =∠C B .具有一条公共边和一个公共角 在△A B C 与△B D C 中C B 是它们的公共边� 且∠C B D =∠A �∠C 是它们的公共角。

C EDBACAD B.C.有对顶角�在△A B C 中∠1与∠2是对顶角CBDEA3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题�常用处理方法是将“一份”看着k ;对于等比问题�常用处理办法是设“公比”为k 。

6、对于复杂的几何图形�采用将部分需要的图形�或基本图形�“抽”出来的办法处理。

实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a 2-b 2=(a +b )(a -b ) a3+b 3=(a +b )(a 2-a b +b 2) a 3-b 3=(a -b (a 2+a b +b 2) 三角不等式 |a +b |≤|a |+|b | |a -b |≤|a |+|b | |a |≤b <=>-b ≤a ≤b|a -b |≥|a |-|b | -|a |≤a ≤|a | 一元二次方程的解 -b +√(b 2-4a c )/2a -b -√(b 2-4a c )/2a 根与系数的关系 X 1+X 2=-b /a X 1*X 2=c /a 注�韦达定理判别式b 2-4ac =0 注�方程有两个相等的实根 b 2-4a c >0 注�方程有两个不等的实根 b 2-4a c <0 注�方程没有实根�有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 s i n (A +B )=s i n A c o s B +c o s A s i n B s i n (A -B )=s i n A c o s B -s i n B c o s A c o s (A +B )=c o s A c o s B -s i n A s i n B c o s (A -B )=c o s A c o s B +s i n A s i n Bt a n (A +B )=(t a n A +t a n B )/(1-t a n A t a n B ) ta n (A -B )=(t a n A -t a n B )/(1+t a n A t a n B )c t g (A +B )=(c t g A c t g B -1)/(c t g B +c t g A ) ct g (A -B )=(c t g A c t g B +1)/(c t g B -c t g A )倍角公式 t a n 2A =2t a n A /(1-t a n 2A ) c t g 2A =(c t g 2A -1)/2c t g ac o s 2a =c o s 2a -s i n 2a =2c o s 2a -1=1-2s i n 2a半角公式 s i n (A /2)=√((1-c o s A )/2) s i n (A /2)=-√((1-c o s A )/2)c o s(A/2)=√((1+c o s A)/2)c o s(A/2)=-√((1+c o s A)/2)t a n(A/2)=√((1-c o s A)/((1+c o s A))t a n(A/2)=-√((1-c o s A)/((1+c o s A))c t g(A/2)=√((1+c o s A)/((1-c o s A))c t g(A/2)=-√((1+c o s A)/((1-c o s A))和差化积2s i n A c o s B=s i n(A+B)+s i n(A-B)2c o s A s i n B=s i n(A+B)-s i n(A-B)2c o s A c o s B=c o s(A+B)-s i n(A-B)-2s i n A s i n B=c o s(A+B)-c o s(A-B)s i n A+s i n B=2s i n((A+B)/2)c o s((A-B)/2c o s A+c o s B=2c o s((A+B)/2)s i n((A-B)/2)t a n A+t a n B=s i n(A+B)/c o s A c o s Bt a n A-t a n B=s i n(A-B)/c o s A c o s Bc t g A+c t g B s i n(A+B)/s i n A s i n B-c t g A+c t g B s i n(A+B)/s i n A s i n B某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/412+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/61*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/s i n A=b/s i n B=c/s i n C=2R注�其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2a c c o s B注�角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注��a,b�是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+D x+E y+F=0注�D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2p x y2=-2p x x2=2p y x2=-2p y直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=p i(R+r)l球的表面积S=4p i*r2圆柱侧面积S=c*h=2p i*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=p i*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r>0扇形公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*p i*r2h斜棱柱体积V=S'L注�其中,S'是直截面面积�L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=p i*r2h。