山东大学网络教育线性代数模拟题(A)一．单选题.1.下列（ A ）是4级偶排列．（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ D ）．（A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D ) 24-． 3. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．（A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+；（C ）0=A 或0=B ； （D ）0=+B A ．4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*kA 等于（ B ）．（A ）*kA ； （B ）*1A k n -； （C ）*A k n ； （D ）*1A k -． 5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ） （A ）s ααα,....,,21中有一零向量(B) s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例 (C ) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B ) 2)(2121211ββααα++-+k k(C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++++k k7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－1的一个特征值是（B ）(a)4/3 (b )3/4 (c)1/2 (d)1/48. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=(B)(a)0 (b )24 (c)60 (d)1209. 若A 是（ A ），则A 必有A A ='．（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确． （A ）()A A '='22； (B) ()1122--=A A ；(C) [][]111)()(---''='A A ； (D) [][]'=''---111)()(A A ．二．计算题或证明题1. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3241223k kA (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵？(2)求出P 及相应的对角矩阵。

参考答案：2. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为λ，A *是A 的伴随矩阵，设|A|=d ，证明：d/λ是A *的一个特征值。

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211a ax x x a x ax x x x ax参考答案：. 当1,2a ≠-时有唯一解：212311(1),,222a a x x x a a a ++=-==+++ 当1a =时，有无穷多解：11221321x k k x k x k=++⎧⎪=⎨⎪=⎩当2a =-时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211,6512,14703,2130,421154321ααααα参考答案：5. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，试证：BA AB -是对称矩阵．参考答案：山东大学网络教育线性代数模拟题（B ）一．单选题. 1. 若)541()1(l k N -55443211a a a a a l k 是五阶行列式ij a 的一项，则k 、l 的值及该项符号为（ A ）．（A ）2=k ，3=l ，符号为负； (B) 2=k ，3=l 符号为正； (C) 3=k ，2=l ，符号为负； (D) 1=k ，2=l ，符号为正． 2. 下列行列式（ A ）的值必为零．(A ) n 阶行列式中，零元素个数多于n n -2个；(B) n 阶行列式中，零元素个数小于n n -2个； (C) n 阶行列式中，零元素个数多于n 个； (D) n 阶行列式中，零元素的个数小于n 个．3. 设A ，B 均为n 阶方阵，若()()22B A B A B A -=-+，则必有（ D ）．（A ）I A =； (B)O B =； (C)B A =； (D )BA AB =． 4. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，则必有（ C ）．（A ）B A B A +=+；（B ）BA AB =；（C ）BA AB =；（D ）()111---+=+B A B A ．5. 如果向量β可由向量组s ααα,....,,21线性表出，则（ D/A ）(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立 (C) 对β的线性表示式不唯一 (D ) 向量组s αααβ,....,,,21线性相关6. 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是（ C ） (A)系数矩阵A 的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A 的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设n 阶矩阵A 的一个特征值为λ，则(λA －1)2＋I 必有特征值（B ）(a)λ2+1 (b )λ2-1 (c)2 (d)-28. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00000123a A 与对角矩阵相似，则a ＝（ A ）(a ) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 29. 设A ，B ，C 均为n 阶方阵，下面（ D ）不是运算律．（A ）()A B C C B A ++=++)( ； （B ）BC AC C B A +=+)(； （C ）)()(BC A C AB =； （D ）B AC C AB )()(=． 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001；（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020001；（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210001．二．计算题或证明题1. 已知矩阵A ，求A 10。

其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2101A 参考答案：2. 设A 为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ-1是A -1的一个特征值。

参考答案：3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++22332`1321321ax x x x ax x a x x ax参考答案：当1,2a ≠-时有唯一解：123133,,222a x x x a a a ---=-==+++ 当1a =时，有无穷多解：11221322x k k x k x k=---⎧⎪=⎨⎪=⎩当2a =-时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001,1211,1111,43214321αααα参考答案：极大无关组为：234,,a a a ，且1234a a a a =++5. 若A 是对称矩阵，T 是正交矩阵，证明AT T 1-是对称矩阵．参考答案：山东大学网络教育线性代数模拟题（C ）一．单选题.1. 设五阶行列式ij a m =，依下列次序对ij a 进行变换后，其结果是（ C ）． 交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．（A ）m 8； (B)m 3-； (C )m 8-； (D)m 41． 2. 如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则（ D ）． （A ）0=k 或1=k ；（B ）1=k 或2=k ；（C ）1-=k 或1=k ；（D ）1-=k 或3-=k ．3. 设A ，B ，C ，I 为同阶矩阵，若I ABC =，则下列各式中总是成立的有（ A ）． （A ） I BCA =； (B) I A C B =； (C) I BAC =； (D) I C B A =．4. 设A ，B ，C 为同阶矩阵，且A 可逆，下式（ A ）必成立． （A ）若AC AB =，则C B =； (B) 若CB AB =，则C A =； (C) 若BC AC =，则B A =； (D) 若O BC =，则O B =．5. 若向量组s ααα,....,,21的秩为r ，则（ D ） （A ）必定r<s(B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关 (C )向量组中任意r 个向量线性无关(D )向量组中任意个1+r 向量必定线性相关6. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ C ）(A) 133221,,αααααα+++ ; (B) 123211,,αααααα+++ ; (C ) 133221,,αααααα--- ; (D) 1332213,2,αααααα+++ . 7. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，I 为n 阶单位矩阵，则（D ） (a)λI-A ＝λI-B (b)A 与B 有相同的特征值和特征向量(c)A 与B 都相似于一个对角矩阵 (d )kI-A 与kI-B 相似（k 是常数）8. 当（C ）时，A 为正交矩阵，其中 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c b a A 0(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c ) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 . 9. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ A ） (A ) 14433221,,,αααααααα++++线性无关; (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关; (C) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关; (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关. 10. 当=A （ B ）时，有A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321332211321321321333c c c b b b c a c a c a c c c b b b a a a ． （A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-103010001；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301；（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300；（D ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130010001．二．计算题或证明题1. 设A ～B,试证明(1)A m ～B m (m 为正整数)（2）如A 可逆，则B 也可逆，且A －1～B －1 参考答案：2. 如n 阶矩阵A 满足A 2=A ，证明：A 的特征值只能为0或-1。