2012江苏高考数学19题-的几种解法及巧解。

19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i ）若126AF BF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．这题难度较大，全省得分率不高，不过并没有像网上说的那样，有多变态。

本题体现了江苏关于解析几何命题的一贯特点，求定值。

这已延续了几年。

值得我们思考。

今年解析几何题一个大的变化时题位后移，难度自然有所增加。

这是否代表今后高考命题的一个方向呢。

还是像09年的应用题那样，AB P O 1F 2F x y （第19只是一个特例，这也值得我们思考。

另外，高考之前，有很多人猜测今年可能考圆。

结果却有些出乎意料。

其实无论考圆还是椭圆，思想方法都是一样的，没必要再这方面纠结。

应该抓住问题的核心，而不是投机取巧。

现在就题论题。

首先看看命题组给出参考答案。

解(1)由题设知ace c b a =+=,222. 由点(1,e)在椭圆上，得112222=+ba c a 解得12=b ，于是122-=ac ，又点）（23,e 在椭圆上，所以143222=+b a e ，即143142=+-a a ，解得22=a因此，所求椭圆的方程是1222=+y x .(2)由(1)知)0,1(),0,1(21F F -,又直线1AF 与2BF 平行,所以可设直线1AF 的方程为my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1.设0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112121112myx y x 得012)2(1212=--+my y m ,解得222221+++=m m m y故K 21)1(2)()1(222212121211++++=+=++=m m m m y my y x AF ① 同理, K 21)1(22222++-+=m m m m BF ②(ⅰ)由①②得262122221=++=-m m m BF AF 解得22=m ， 因为0>m ，故2=m ，所以直线1AF 的斜率为221=m （ⅱ）因为直线1AF 与2BF 平行,所以121AF BF PF PB =,于是11211AF AF BF PF PF PB +=+ 故12111BF BF AF AF PF +=.由点B 在椭圆上知2221=+BF BF从而)22(22111BF BF AF AF PF -+=.同理)22(12122AF BF AF BF PF -+=因此)22()22(1212221121AF BF AF BF BF BF AF AF PF PF -++-+=+2121222BF AF BF AF +⋅-=又由①②知21,2)1(2222212221++=⋅++=+m m BF AF m m BF AF所以223222221=-=+PF PF .因此21PF PF +是定值. 第一问的难度不大，得分率也很高。

难点是在第问的两题。

命题组给出的答案中规中矩，不过中规中矩中含有智慧。

例如2问中的I ，直线方程设的就比较好，因为过定点，所以设了直线1AF 的方程为my x =+1,直线2BF 的方程为my x =-1，这样就减少了很多计算量。

而且这与下一问结合的很好。

下面我展示一下我在阅卷时，一位数学功底很好的学生的解法。

代表了很多完成这题考生的解法。

（1）∵椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上∴带入椭圆的方程得：22222221131e a b e a b ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩由c e a =及222a b c =+解得： 22a =，21b=，21c=∴椭圆的方程为2212x y +=（2） （i ）设直线1AF 的斜率为k∵直线1AF 与直线2BF 平行∴直线2BF 的斜率也为k∵左、右焦点的坐标分别为1(10)F -，，2(10)F ，∴直线1AF 的方程为()1y k x =+，直线2BF 的方程为()1y k x =-设()11A x ,y ，()22B x ,y ，∵A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点 ∴1y >，2y>由()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22221220k y ky k +-+-=，∴2122221k k y k ++=+ 由()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22221220ky ky k +++-=，∴2222k k k y -++=∴()()2222222111111222211221021y k k k k AF x y y k k k k ++++=++-=+==+ 同理()()2222222222222222211221021y k k k k BF x y y y k k k k ++-++=-+-=+==+∵126AF BF -=∴22222222222222222122122212112222212112216k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++-++++⎫+++-++=-⎪⎪++⎭+⎫=⎪+⎭=解得：212k=∵126AF BF -=∴12AF BF >∴0k > ∴22k =（ii ）∵直线1AF P 直线2BF∴211BFPB PF AF= ∴12111PB PFBF AF PFAF ++=∵11PB PF BF +=∴11112AFPF BF AF BF=+∵1222BF BF +=∴()1121222AF PF BF AF BF=+ 同理()221122BF PFAF AF BF =+12PF PF +()()122112122222AF BF BF AF AF BF AF BF =+++1212222AF BF AF BF ⋅=+由（i ）得(222212211212221k k k k k k AF k k +++++==+， (222222211212221k k k k k k BF k k -+++-++==+∴12AF BF ⋅((2222221121122121k k k k k k ⎛⎛++++ =⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2222221121k k k+-+=+()()()222212121k k k ++=+ 22121k k +=+ 12AF BF +((2222221121122121k k k k k k ⎛⎛⎫++-++ ⎪=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭)2222121k k +=+∴12122AF BF AF BF⋅+ ()2222122122121k k k k ++=++222==∴12PF PF +1212222AF BF AF BF ⋅=+222=322=实际上两种方法的核心是一样的，只是设法不同，这样设法的好处是，思路简单。

如果基础够好的话，这只方法不失为一种好方法。

不过比较而言，繁琐了一些。

在时间紧张的高考，也确实是一种拿分的方法。

实际上第二问中的I 还有巧妙的解法。

极坐标。

这是选修的内容。

在选修的书上有椭圆的极坐标方程。

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.(c b c c a p 22=-=)我们可设直线1AF 的倾斜角为ө，则1AF =θρcos 1e ep-=，2BF =1cos ep e ρθ=+，由题及（1）问有，126AF BF -=，解得cos ө=√63，从而2k =我们可以看出，这种解法非常简单。

阅卷过程中，也有考生使用这种方法，令人赞叹。

而且给分也多。

虽然极坐标是选修内容，单在高考中，还是可以的。

这要求我们拓展思维，开阔视野，广泛学习！。