i i 1
n
Bi B j (i j )
A ABi
n i 1

n i 1
( ABi )( AB j ) (i j )
P( A) P( ABi ) P( Bi ) P( A Bi )
( P( Bi ) 0, i 1, 2,, n)
一、引例
有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱装有1 个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱 装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出 一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.
?
1红 4白
1
2
3
记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3;
A ={取得红球} 求P(B1|A). 1红 4白
?
1
2
3
P( B1 A) P( B1 | A) P( A)
P( B1 ) P( A | B1 )
P( B ) P( A | B )
i 1 i i
3
二、贝叶斯公式 设 B1 , B2 , , Bn为样本空间 的一个划分，A为样本空间
第二次检出阳性
P(C A1 A2 ) 0.7392
接连两次检出阳性，此人患病的可能性过半
P(C A1 A2 A3 ) 0.9854
第三次检出阳性
连续三次检出阳性几乎可断定已患病
的事件，且 P( A) 0, P( Bi ) 0(i 1, 2, n),则
n
P( Bi | A) P( Bi ) P( A｜Bi )
P(B )P( A｜B )
j 1 j j
i 1,2, n
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出.它是在观 察到事件A已发生的条件下，寻找导致 A发生的每个原 因的概率.
2. 首次检出阳性，此人患病的概率并不大. 试验结果为阳性 ,此人确患病的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使某人检出阳性，尚可不必过早下结论该人患 病，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中 大约只有107人确实患病)，此时医生常要通过再试验 来确认. 在例题已知条件下，如果接连两次检出阳性 该有什么样的结论呢？连续三次检出阳性呢？
在贝叶斯公式中， P( Bi ) 和P( Bi A) 分别称为原因的
先验概率和后验概率. (i)：P(Bi) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息（不知道
事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可
能性大小的认识.
(ii):有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计，从而提高认识.
小
结
1. 贝叶斯公式——由结果找原因
P( Bi | A) P( Bi ) P( A｜Bi )
2. 贝叶斯公式应用
P(B )P( A｜B )
j 1 j j
n
i 1,2,, n
作业: P35 第29题,第30题
谢谢大家！
在例题已知条件下，如果接连两次检出阳性 该有什么样的结论呢？连续三次检出阳性呢？
三、贝叶斯公式应用
它可以帮助人们确定某结果（事件A）发生的最 可能原因.
例 某一地区患有某病的人占0.005，患者对一种试 验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反 应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反 应是阳性，问此人是患者的概率有多大?
分析:设C={抽查的人患病}，A={此人试验为阳性} 则 C 表示“抽查的人不患病”. 由贝叶斯公式，可得
贝叶斯公式
复
条件概率定义
习
当P( B) 0时, 定义 P( A B) P( AB) / P(B) 为“事件B发生的条件下事件A发生的条件概率”
乘法公式
P( AB) P(B) P( A B) ( P( B) 0)
全概率公式
பைடு நூலகம்B1
AB1 A AB2 B2
n i 1
Bn
ABn
B
P(C | A)
P(C ) P( A | C )
P(C) P( A | C) P(C ) P( A | C )
0.1066
P(C) 0.005 , P(C) 0.995
P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.04
结果的意义：
1. 这种试验对于诊断一个人是否患病是有意义的. 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验为阳性反应， 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066,提高约20倍.