【解析】
(1)证切线两条思路：
一是过圆心作垂线段，证明d=r，
二是连结半径，证半径OD⊥AD(这种思路是已知直线和圆有交
点时)此题当然是连结OD，证OD⊥AD.
由E是弧BC
OE⊥BC于F点，
AGD ODE EGF OED 90
OD OE ODE OED
∠ADG+∠ODE=90°即AD⊥OD∴AD是⊙O的切线
➢ 要点、考点聚焦
1.本课时重点是相交弦定理与切割线定理的应用. 2.相交弦定理及其推论(写出图示的结果，如图8-3-1).
图8-3-1 定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的
积相等(PA·PB=PC·PD). 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直
径所成的两条线段的比例中项(PC2=PD2=PA·PB).
A.PA·PD=PC·PB
图8-3-13 B.
PA AC PB BD
C.PA·PB=PC·PD
D.PB·BC=PD·AD
3在Rt△ABC中，∠BCA=90°，以A为圆心.AC为半径
的圆交AB于F，交BA延长线于E，CD⊥AB于D，给出四
个等式 ①BC2=BF·BA ②CD2=AD·AB ③CD2=DF·DE ④BF·BE=BD·BA，
4.中考命题方向及题型设置.
与圆有关的比例线段的定理及推论是中考的必考内容， 常用于计算或证明比例式，出现于各类题型中.
➢ 课前热身
1.图8-3-3，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B， 若PA=6，PB=4，则⊙O的半径为( B )
A.
5 4
C.2
B. 5 2
D.5
2. 如图8-3-4，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB=10， AF=2，若CF∶DF=1∶4，则CF的长等于( B )
线 ， 得 到 PF·PC=PA·PB，CD 与 AB 是 ⊙ O
中两条互相垂直的弦.得到CE2=AE·BE
由 PA∶AE∶EB=2∶4∶1 可 设 PA=2k，
AE=4k，EB=k， 则 PB=7k 则
7 ( 7 + 1 3 ) = 2 k×7k k= 10由 图8-3-8
CE2=AE·BE=>CE2=4k·k=4k2
(2)计算题，在圆中通常用两个定理：相交弦定理和切 割线定理. 由AD=4，AB=2AD2=AB·ACAC=8GB=2，GC=4(切割线定理) 再由相交弦定理：CG·BG=EG·DGDG=4△ADG为等边三角
形∠ADG=60°，下面根据垂径定理求⊙O的半径.过O作 OH⊥ED于H，则∠EOH=60° EH=3，OE=23 r=23.
探求出
FG2 FE2
FA FD
FA FD
FG=EF证明同(1)
方法小结：
1.相交弦定理和切割线定理可以看作与圆有公共点 的两条相交直线，当交点在圆内时得相交弦定理， 当交点在圆外便有切割线定理及切线长定理.
2.在圆的有关证明和计算中，若有相交弦和切割线 的基本图形时，通常要想到用相交弦定理和切割 线定理.
)A
A.
12 5 5
C. 5
2
B.
45 5
D.
65 5
图8-3-6 (2003年·河南省)
5. 如图8-3-7，点C为⊙O的弦AB上一点，点P为⊙O 上一点，且OC⊥CP，则有( D )
A.OC2=CA·CB C.PC2=PA·PB
图8-3-7 B.OC2=PA·PB
D.PC2=CA·CB
(2003年·杭州市)
➢ 典型例题解析
【例1】已知如图8-3-8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
垂足为E，P为BA延长线上的点，连结PC，交⊙O于F，
如果PF=7，FC=13，且PA∶AE∶EB=2∶4∶1，求CD的长.
【解析】涉及圆中有关切割线，相交
弦定理的应用问题时，要注意寻找应
用 定 理 的 基 本 图 形 ， 如 PFC 与 PAB 是 割
【解析】(1)要证两线段相等，方法很多但这题应该用等积 式证EF=FG，很明显FG2=FA·FD，若再能得到EF2=FA·FD即可.
由EFCB B D2 NhomakorabeaB
2 D
1 1
△ FOA∽△FDO
所以结论得证.
FE2=FA·FD
(2)这是一道探索性问题，首先要根据题意画出图形，如图
8-3-11，再利用已知条件来探求结论是否成立，此题很容易
图8-3-4
A. 2
B.2 2
C.3
D.2
(2003年·重庆市)
3. 已知：如图8-3-5中，AB是⊙O的直径，OB=BD， ∠CAB=30°，则下列结论中错误的是( D )
图8-3-5
A.BC=BD C.CD是⊙O的切线
B.∠DCB=∠A D.DC2=DB·AB
(2003年·武汉市)
4. 已知，如图8-3-6，ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4， F是BC的中点，AF的延长线交⊙O于点E，则AE的长是(
【例3】如图8-3-10，已知⊙O的弦AB、CD交于圆内 的一点E，过E作EF∥BC交DA的延长线于F，FG切⊙O 于G. 求证：EF=FG
图8-3-10 若AB与CD的交点在⊙O外，上述结论是否成立，请证 明你的猜想.
已知⊙O的弦AB、CD交于圆内的一点E，过E作 EF∥BC交DA的延长线于F，FG切⊙O于G. 求证：EF=FG
CE=2 10
CD=2CE=4 10
【例2】如图8-3-9，割线ABC与⊙O相交于B、C两点， D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交 AC于G，∠AGD=∠ADG
图8-3-9 (1)求证：AD是⊙O的切线 (2)如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半径.
(2003年·山东省)
➢ 课时训练
一、课堂反馈 1.如图8-3-12，PAB是⊙O的割线，PO交⊙O于C， 若⊙O的半径为R，PO=d，则PA·PB=( D )
A.2R-2d C.R2-d2
图8-3-12 B.2R+2d D.d2-R2
2.如图8-3-13，若直线PAB，PCD分别与⊙O交于点A、 B、C、D，则下列各式中，相等关系立的是( C )
3.切割线定理及推论(写出如图8-3-2的结论).
图8-3-2 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点
到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 (PA2=PB·PC或PA2=PD·PE).
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到两条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等 (PB·PC=PD·PE).