初三数学相交弦定理和切割线定理
一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理 二. 重点、难点：
1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
【典型例题】
[例1] 已知P 为⊙O 内一点，cm OP 3=，⊙O 半径为cm 6，过P 任作一弦AB ，设x AP =，
y BP =，则y 关于x 的函数关系式为 。
解：由相交弦定理得x y 2236-=，即x
y 27=，其中93≤≤x
.O
A
B P
C
D
[例2] 如图，AC=BD ，CE 、DF 切⊙O 于E 、F 两点，连EF ，求证：CM=MD 。
证明：
作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4
由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF
由切割线定理，CB CA CE ⋅=2
DA DB DF ⋅=2
∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 2
2
DF CE = CE=DF
∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ∆≅∆（AAS ） ∴ CM=MD [例3] 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。
解：
设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ⋅=⋅ 即x x )8(43-=⨯ 61=x ，22=x （舍）
由切割线定理，BP AP PT ⋅=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(2
2
++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解：
连AB ，∴ ∠1=∴
EF CE =由切割线定理得：1441692
=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12
[例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：
（1）PB PA PC ⋅=2
（2）若证明：
（1）延长CP
解：
（2）易知32
1
==
OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ⋅=⋅，即27)63(3)3(=+⨯=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有20462
2
2
=-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+
=x y 代②得，0203
162=-+x x ∴ 0601632
=-+x x ，3
61
28±-=
x （舍负）
∴ AP 长为
3
61
28+-
[例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE=
2
5
，求AB 长。
解：
设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K
由相交弦定理，ED CE BE EK ⋅=⋅，故a r r 3)2
5)(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ⋅=-=2
2
2
∴ )6(3)2
5(62
2
a r +=-- ② 由②—①得：018522
=--r r ，2
9
1=
r ，22-=r （舍） ∴ 32)2
529(62
22=--=AB ，AB=24
[例7] 如图，⊙O 中直径AE ⊥BF ，M 为OE 中点，BM 延长交⊙O 于C ，连AC ，求ABC ∆中三个内角的正切值。
解：易知︒=∠=
∠452
1
BOA C ∴ 145tan tan =︒=C 连CF 、CE ∵ BF 为直径 ∴ ︒=∠90BCF 又 ∵ ︒=∠90BOM ∴ BCF BOM ∆∆~
∴ 2tan tan ==
=
∠=∠OM
OB FC
CB F BAC
∵ ︒=⋂
⋂
90m
BE
AB ∴ ︒=∠=∠4521
作MH ⊥AC 于H 点 则3tan tan =====
∠=∠ME
AM
HC AH MH AH CE AC E ABC
[例8] 如图，已知ABC ∆中︒=∠90ACB ，以C 为圆心，作圆与AB 相切于点D ，且AD=9，BD=16
（1）求⊙C 的半径 （2）求F ∠tan 的值
解：连CD 、ED ，则CD ⊥AB ，︒=∠90EDF
（1）由射影定理，1692
⨯=⋅=DB AD CD ∴ 12169=⨯=
CD ∴ EF=24 ∴ ⊙C 半径为12
（2）由弦切角定理，F ADE ∠=∠，故ADF AED ∆∆~ ∴ AD
AE
DF DE F =
=
∠tan 设x AE =，由AF AE AD ⋅=2
得：)24(92
+=x x ，故081242=-+x x
31=x ，272-=x （舍） ∴ =
∠F tan 3
193=
（答题时间：45分钟） 一. 选择题：
1. 如图，PT 切⊙O 于T ，PBA 、PDC 为⊙O 的割线，则下列等式成立的是（ ）
A. PC PD BA PB ⋅=⋅
B. PD PC PT ⋅=2
C.
AC
BD
PC PA =
D. PC CD PA AB ⋅=⋅
⊙O 半径长为 。
4. 如图，若⊙O 的半径为OA=5，P 在OA 上，PA=2，MN 过P 点，使2:1:=PN MP ，则弦心距OQ 的长为 。
参考答案
一. 选择题：
1. B
2. B
3. A
4. A
5. C 二. 填空题： 1. 2或9 2. 21 3. 7或1 4. 7 5. 2.4
三. 解答题： 1. 证明：
∵ CD ∥AB ∴ ∠1=∠2 ∵ BG 与⊙O 相切 ∴ ∠3=∠2 ∴ ∠3=∠1 又 ∵ GFB PFE ∠=∠ ∴ PFE ∆∽GFB ∆ ∴
FG
PF
BF EF =
∴ FB PF FG EF ⋅=⋅ 又由相交弦定理得FD CF FB PF ⋅=⋅ ∴
FD CF FG EF ⋅=⋅ ∴ FG FD CF EF ::=
2. 解：
由弦切角定理知31∠=∠，又 ∵
21∠=∠ ∴ 32∠=∠ ∴ AC=BC
由切割线定理，92
==NB
NA NC ∴ 5=-=NB NC BC ∴ AC=5 又由C ∠=∠4知NAB ∆∽NCA ∆，故NA
NB
AC AB =
∴ 3
10
564=⨯=⋅=
AC NA NB AB。