混凝土的受压应力-应变曲线方程是其最基本的本构 关系，又是多轴本构模型的基础。在钢筋混凝土结构的
非线性分析中，例如构件的截面刚度、截面极限应力分
布、承载力和延性，超静定结构的内力和全过程分析等
过程中，它是不可或缺的物理方程，对计算结果的准确 性起决定性作用。
1.3.1试验方法
在棱柱体抗压试验时，若应用普通液压式材料试验机加载， 可毫无困难地获得应力应变曲线的上升段．但试件在达到最大 承载力后急速破裂，量测不到有效的下降段曲线。
Whitney很早就指出混凝土试件突然破坏的原因是试验机的 刚度不足。试验机本身在加载过程中发生变形，储存了很大的
弹性应变能。当试件承载力突然下降时，试验机因受力减小而 恢复变形，即刻释放能量，将试件急速压坏。
要获得稳定的应力-应变全曲线，主要是曲线的下降段，必须 控制混凝土试件缓慢地变形和破坏。有两类试验方法：
αa=a1，规范称之为曲线上升段参数。
物理意义：混凝土的初始切线模量与峰值割线模量之比E0/Ep；
几何意义：曲线的初始斜率和峰点割线斜率之比。
上升段曲线方程为：
x 1 y a x (3 2a )x2 (a 2)x3 ⑶
上升段曲线方程，满足数学条件描述7。由条件2的不等式，
a
dy
a1
式中：
dx
x
E0

0
d d
d ( / fc ) d ( / p )
x0

d / d x0 fc / p

E0 Ep
a
混凝土的初始切线弹性模量（N/mm2）。
x0
Ep

fc
c
混凝土棱柱体抗压强度和峰值应变的比 值，即峰值割线模量（N/mm2）。
1.3受压应力-应变全曲线
混凝土受压应力-应变全曲线包括上升段和下降段，
是其力学性能的全面宏观反应：
◆曲线峰点处的最大应力即棱柱体抗压强度，相应的应 变为峰值应变εp ； ◆曲线的（割线或切线）斜率为其弹性（变形）模量， 初始斜率即初始弹性模量Ec ； ◆下降段表明其峰值应力后的残余强度；曲线的形状和 曲线下的面积反映了其塑性变形的能力，等等。
x 1
y a0 a1x a2 x2 a3x3
⑴
x 1
y

b0

x b1x
b2 x2
⑵
下降段曲线方程中包含三个参数，将数学条件描述 中 3 的两个边界条件代入，可解得：
b1 1 2b0 ,
b2 b0
式中b0为独立参数，在混凝土规范中称为下降段参数，
即 αd= b0 将其代入⑵式，并简化可得：
下降段曲线上两个特征点D、E的位置随参数 αd 值而变
2.
3.
0 x
x
1时1, ,ddyx2 y210,,d即y曲/ d线x 斜 率0,(即dy单/ dx峰)单值调；减小，无拐点；
4.
当d2y dx2

0时，xD
1,即下降段有一拐点(D);
5.
当d3y dx3

0时，xE
1,即下降段上的最大曲率点(E);
6. 当x , y 0时, dy 0, dx
下降段曲线可无限延长，收
敛与横坐标轴，但不相交；
7. 全部曲线x 0, 1 y 0.
为了准确地 拟合混凝土的 受压应力-应变 试验曲线，各 国研究人员提 出了多种数学 函数形式的曲 线方程，如： 多项式、
指数式、
三角函数
有理分式
分段式
等等。
对于曲线的上升段和下降段，有的用统一
方程，有的则给出分段公式。其中比较简单、 实用的曲线形式如图。
将混凝土受压应力-应变全曲线用无量纲坐标表示：
x p
y
fc
绘制峰点坐标为
（1，1）的标准曲线 如图，曲线形状有一
定差别，但具有一致
的几何特性，可用数 学条件描述。
其几何特征的数学描
这些几何特征与混凝土的受压
述如下： 1. x 0, y 0;
变形和破坏过程（见前）完全 对应．具有明确的物理意义。
x 1
y

d
(x
x 1)2

x
⑷
x 1
y
x
d (x 1)2 x
⑷
上式满足数学条件描述中的6、7。
当d 0时，y 1,峰点后为水平线（全塑性）；
d 时，y 0,峰点后为垂直线（脆性）。
故
的取值范围为：
d
0 d
此外，由数学条件 4 满足：
d2 y dx 2
①应用电液伺服阀控制的刚性试验机直接进行试件等应变速 度加载；
②在普通液压试验机上附加刚性元件，使试验装置的总体刚 度超过试件下降段的最大线刚度，就可防止混凝土的急速破坏。
按上述方法实测的混凝土棱柱体受压应力-应变全曲线如图。
1.3.2全曲线方程
混凝土受压应力-应变全曲线、及图像化的本构关系，是研究 和分析混凝土结构和构件受理性能的主要菜形依据，为此需要 建立相应的数学模型。
a0 0 , a2 3 2a1 , a3 a1 2
式中还有一个独立参数a1。从式⑴可知，当 x=0时，有dy / dx= a1 从各符号的定义可得：
a1

dy dx
x0
d ( / fc ) d ( / p )
x0

d / d x0 fc / p

E0 Ep
过镇海、张秀琴等建议和《规范》所采用的分段式曲线方程
为： x 1
y a0 a1x a2 x2 a3x3
⑴
x
x 1
y b0 b1x b2 x2
⑵
符合曲线在峰点连续的条件。
其中上升段⑴式应满足数学条件描述中1、2、3、7，下降段 ⑵式应满足数学条件描述中的3～7。
将条件1和3中的三个边界条件代入⑴式，可解得：

2
d
[x3ห้องสมุดไป่ตู้

3x

(2

1
d
[d (x 1)2 x ]3
)]

0
可解得拐点位置xD（＞1.0） 同理，由数学条件5满足：
d3 y dx3


6
d
[
2 d
x4

6
2 d
x2

(8
2 d

4 d
[d (x 1)2 x
)x ]3

(3
2 d

4 d
1)]

0
可解得最大曲率点的位置 xE（＞ xD ）
可得αa值的范围：
1.5 a 3.0
上升段理论曲线随参数αa的变化：
αa＞3，曲线局部y＞1， 显然违背试验结果；
1.1＜αa＜1.5， 曲线的初始段（x＜0.3） 内有拐点，单曲度不明显， 在y≤0.5～0.6范围内接近 一直线；
αa＜1.1， 上升段曲线上拐点明显， 与混凝土材性不符。