对于n 维空间的一组向量 P1, P2 , , Pm ,若在数
域 F中有一组不全为 0的数 ai (i 1,2, , m) 使 a1P1 a2P2 L amPm 0
成立，则称这组向量在 F上线性相关，否则称 这组向量在 F上线性无关。
37
基本概念与基本定理
2. 秩：
设A是m n矩阵。若A的n个列向量中有r个线
日销量
产品
B1=3
A1=5
4
A2=7
1
A3=8
7
B2=4
11 9 4
B3=5 B4=8
3
10
2
8
10
5
6
线性规划的数学模型
设从生产点i到销售点j的调运数量为 xij 吨,
则目标函mi数n z为: 4x11 11x12 3xm13inz10x41x41111x12 3x13 10x14
min z x42x111911xx2212 23xx1233108xx1244x721x391 x224x232x23 8x24 7x31 4x32
39
基本概念与基本定理
线性规划的基本概念：
1. 可行解：满足上述约束条件（1.3.1）和 （1.3.2）的解。
2. 最优解：满足上述约束条件（1.3.3）的
可行解。 AX b
(1.3.1)
X 0
(1.3.2)
min z CX (1.3.3)
40
基本概念与基本定理
3. 基：已知A是约束条件的m n 系数矩阵， 其秩为m。若B是A中 mm非奇异子矩阵 （即可逆矩阵，有 B 0 ）,则称B是线性 规划问题的一个基，B是由A中m个线性 无关的系数列向量组成的。
2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为 等式:
(1) 若原约束不等式左端>=右端,则： 左端-剩余变量=右端（剩余变量>=0)
(2) 若原约束不等式左端<=右端,则： 左端+松弛变量=右端（松弛变量>=0)
32
线性规划的标准型
3. 若原模型中变量 xk是自由变量，如何化为非负变量: 令 xk xk xk(xk 0, xk 0) 4. 若原模型中变量 x j有上下界，如何化为非负变量： 若 x j u j,即 x j u j 0 ,令 xj x j u j ,有xj 0,用 (xj u j ) 代替 x j即可。 若x j t j ,即 t j x j 0 ,令xj t j x j ,有 xj 0 ,用 (t j xj) 代替 x j即可。
设备
A B C 利润(元/吨）
每吨产品的加工台时
甲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
乙
3
4
5
4
9
8
32
30
总有限台时
36 40 76 求max
4
线性规划的数学模型
设计划期内甲、乙两种产品的产量分别为 x1 吨、x2吨.
目标函数： max z 32x1 30x2
3x1 4x2 36 约束条件： 5x1 4x2 40
2( x3 x4 (x3 x4 )
) x6 2 x7 5
x1 0，x2为自由变量 xi 0;i 1,3,4,5,6,7
化为标准型
35
第一章
1. 线性规划的数学模型 2. 图解法 3. 线性规划的标准型 4. 基本概念与基本定理
36
基本概念与基本定理
复习概念：
1. 线性相关：
唯一解
一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到
方程特点
无穷多解
在围成的区域边界上,至少 目标和某一约束 有两个顶点处达到最优值 方程成比例
无可行解 围不成区域
有矛盾方程
无界解
围成无界区域 , 且无有限 最优值
缺少一必要条件 的方程
20
图解法
三、两点结论
1. 线性规划问题的可行域为凸集，特殊 性况下为无界解（但有有限个顶点） 或空集。
x13 x23 x33 5
x14 x24 x34 8
xij 0(i 1, 2, 3; j 1, 2, 3, 4)
7
线性规划的数学模型
线性规划问题的特点
1) 前面数学模型的特征：
目标函数是未知量的线性函数，约束条件是未 知量的线性等式或线性不等式。 未知量的取值范围是非负的。
2) 线性规划问题定义：
27
线性规划的标准型
(2) 缩写形式:
n
min z c j x j j 1 n
aij xj bi (i 1, 2,L , m)
j 1
xj 0( j 1, 2,..., n)
28
线性规划的标准型
(3) 向量形式:
min z CX
n
Pj x j b
j 1
X 0
29
线性规划的标准型
(4) 矩阵形式:
min z CX
AX
b
X 0
30
线性规划的标准型
任一模型如何化为标准型
1. 若原问题要求目标函数实现最大化，如何将 其化为最小化问题:
max (CX ) -[min(-CX )]
max(f(x)) y
1
0
1
min(-f(x))
f(x) x
-f(x)
31
线性规划的标准型
性无关(r n),而所有个数量大于 r的列向量组
都线性相关，则称数 r 为矩阵 A的列秩。类似 可定义矩阵 A的行秩。矩阵 A的列秩与行秩一 定相等，它也称为矩阵 A的秩。
38
基本概念与基本定理
一、线性规划问题的基与解
线性问题的标准型： AX b X 0 min z CX
(1.3.1) (1.3.2) (1.3.3)
第一部分
线性规划
1
第一章
线性规划的基本性质
2
第一章
1. 线性规划的数学模型 2. 图解法 3. 线性规划的标准型 4. 基本概念与基本定理
3
线性规划的数学模型
例1：某厂生产甲、乙两种产品。每吨甲、乙产品在不 同设备上加工所需的台时、它们销售后所能获得的利 润以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时 数均列于下表。试问：如何安排生产计划，可使该厂 所得利润最大？
x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
34
线性规划的标准型
max z x1 x2
min z x1 ( x3 x4 )
2
x1
x2
2
s.t.x1 2x2 2
x1 x2 5
2x1 ( x3 x4 ) x5 2
s.t
.
x1 x1
3
2X1+4X2=16
2
Q(4,2)
Z增
1
(1.2.2)
12 3 4
8 x1
16
图解法
3. 无可行解
上例增加一个约束条件：x2 5
x2
4 R(0,4) (1.2.1)
3
2X1+3X2=6
2 Z增
1
12 3
Q(4,2)
(1.2.2) 4
8 x1
17
图解法
4. 无有限最优解（无界解） 如果全部约束条件构成的可行域是无界
2. 线性规划问题若有最优解，一定可以 在其可行域的顶点上得到。
21
第一章
1. 线性规划的数学模型 2. 图解法 3. 线性规划的标准型 4. 基本概念与基本定理
22
线性规划的标准型
数学模型的标准型
1. 标准型: 实际问题的线性规划模型是多种多样的，在众 多的样式中，我们规定一种叫作标准型。
2. 标准型特征：
4. 基向量：基B中的一列即为一个基向量。 基B中共有m 个基向量。
41
基本概念与基本定理
5.非基向量：基B之外的一列即为一个非 基向量。A中共有（n-m）非基向量（假 设n>m）。
6.基变量：与基向量Pi相应的变量 xi叫基变 量，基变量共有m 个。
7.非基变量：与非基向量 Pj相应的变量x j叫 非基变量，非基变量共有（n-m）个。
12
图解法
x2 4 R(0,4)
(1.2.1) 3
2X1+3X2=6
2 Z增
1
0 123
Q(4,2)
(1.2.2) 4
max z 2x1 3x2 x1 2x2 8 4x1 16 x1 0 x2 0
8 x1
13
图解法 结论：
max z 2x1 3x2 x1 2x2 8 4x1 16 x1 0 x2 0
42
基本概念与基本定理
8.基本解：令所有非基变量为0，求出的满 足上述约束条件(1.3.1)的解叫基本解.
9.基本可行解：满足上述约束条件(1.3.2)的 基本解叫基本可行解。不满足上述约束 条件(1.3.2)的基本解叫不可行解。
这种以未知量的线性函数为特征的一类最优 化问题即是线性规划问题。
8
第一章
1. 线性规划的数学模型 2. 图解法 3. 线性规划的标准型 4. 基本概念与基本定理
9
图解法
图解法简单直观，平面上作图适于求 解二维问题。在用图解法求解线性规划 问题时，不必把数学模型化为标准型。
10
图解法
一、图解法步骤
的，则有可能出现无有限最优解的情况。
max z x1 x2 x1 2x2 4 x1 x2 2 x1 0 x2 0
(1.2.5) (1.2.6) (1.2.7) (1.2.8)
18
图解法
x2
(1.2.6) 3
max z x1 x2 x1 2x2 4 x1 x2 2 x1 0 x2 0