不等式及线性规划问题（讲义）知识点睛一、 不等式的基本性质 性质1：a b b a >⇔< 性质2：a b b c a c >>⇒>， 性质3：a b a c b c >⇒+>+性质4：a b >，0c >ac bc ⇒>；a b >，0c <ac bc ⇒< 性质5：a b c d a c b d >>⇒+>+， 性质6：00a b c d ac bd >>>>⇒>，性质7：0(2)n n a b a b n n >>⇒>∈≥，N 性质8：02)a b n n >>⇒>∈≥，N 二、 一元二次不等式及其解法一般地，对于解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，通常步骤如下： （1）解方程20(0)ax bx c a ++=≠常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法. （2）解不等式 考虑两种解法：函数法：借助函数图象求解①画出对应函数2y ax bx c =++的图象； ②依据图象得出不等式的解集．代数法：借助实数乘法法则，解不等式组. 三、 绝对值不等式的解法1. 解绝对值不等式的核心：去绝对值去绝对值方法：以||x a -为例 （1）绝对值的几何意义：①||x a -表示数轴上x a -，0对应两点之间的距离②||x a -表示数轴上 x a ，对应两点之间的距离 （2）绝对值法则： ||0x a x a x a x a x a x a ->⎧⎪-==⎨⎪-+<⎩，，，（3）偶次方：221||() ( )n n x a x a n n -=-∈≥，N2. 解绝对值不等式常见题型（1）单个绝对值型不等式：如||ax b c +≤或||ax b c +≥ 思路一：依据绝对值的几何意义 ①||ax b c +≤转化为c ax b c -+≤≤②||ax b c +≥转化为c c ax b ax b ++-≥或≤思路二：依据绝对值的“零点”，由绝对值法则去绝对值，再解不等式 思路三：由相应函数()||f x ax b c =+-，利用数形结合思想，依据图象处理． （2）多个绝对值型不等式：如||||x a x b c -+-≥ 思路一：依据绝对值的几何意义数轴上到a 、b 对应两点的距离之和不小于c 的点的集合； 思路二：依据绝对值的“零点”依据绝对值的“零点”分段，由绝对值法则去绝对值，再解不等式； 思路三：依据函数图象由相应函数()||||f x x a x b c =-+--，利用数形结合思想，依据图象处理． （3）常见函数图象 ①()|1|f x x =-②()|1|f x x =+结论推广：①||||||x a x b a b -+--≥；②||||||||a b x a x b a b ------≤≤．四、 二元一次不等式（组）及线性规划 1. 二元一次不等式与平面区域若方程0Ax By C ++=表示直线l ，则 不等式0Ax By C ++>表示直线l 某一侧所有点组成的平面区域，将该侧任一点坐标00()x y ，代入Ax By C ++，000Ax By C ++>恒成立．同理，不等式0Ax By C ++<表示直线l 的另一侧． 2. 由二元一次不等式组判断平面区域 （1）直线定界（注意虚线与实线）；（2）特殊点定域（如：原点，(0 1)，，(1 0)，等）；（3）不等式组找公共区域.3.线性规划相关概念约束条件：关于x，y的不等式（或方程）线性约束条件：关于x，y的一次不等式（或方程）目标函数：要求的关于变量x，y的函数线性目标函数：目标函数为关于变量x，y的一次函数可行解：满足约束条件的解(x，y)可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4.求目标函数z=ax+by的最值利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）根据约束条件画出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，令z=0，画出直线l0；（3）在可行域内平行移动直线l0，从而确定最优解；（4）将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．精讲精练1.下列命题中正确的是（）A．a b c d a c b d>>⇒->-，B．a b a bc c >⇒>C．ac bc a b<⇒<D．22ac bc a b>⇒>2.若01a b<<<，则（）A．11b a>B．11()()22a b<C．n na b>D．11 lg lg a b>3. 当0a b >>，0c d <<时，给出以下结论：①ad bc <；②22a c b d +>+；③b c a d ->-； ④3330c d a <<<． 其中正确结论的序号是______________．4. 设方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12 x x ，，且12x x <． （1）若0a <，则20ax bx c ++<的解集为____________； （2）若0a >，则20ax bx c ++≥的解集为____________．5. 已知不等式230x x t -+<的解集为{}|1 x x m x <<∈，R ．（1）t =_________，m =_________；（2）若函数2()4f x x ax =-++在区间( 1]-∞，上递增，求关于x 的不等式2log (32)0a mx x t -++-<的解集．6.解下列不等式．（1）|21||21|6++-≤x x（2）|21||4|2+-->x x7.已知函数()|4||3|=-+-．f x x x（1）若()<有解，则实数a的取值范围为_________．f x a（2）若()<无解，则实数a的取值范围为___________．f x a（3）若()>对一切实数x均成立，则实数a的取值范f x a围为_______________．（4）若()2|3|a--≥有解，则实数a的取值范围为f x x_______________．8.写出下列平面区域表示的二元一次不等式组．（1）____________________；（2）___________________．（1）9.(21)(4)0x y x y++-+≤表示的平面区域为下图中的（）A．B．C．D．10.不等式组3434xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积等于（）A．32B．23C．43D．3411.设变量x，y满足约束条件53151053x yx yx y+⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≤，则目标函数z=3x+5y 的最大值为__________，最小值为_________．12.设变量x，y满足约束条件3602030x yx yy+-⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≤≤，则目标函数z=2x-y的最小值为（）A．7B．-4C．-1D．413.设变量x，y满足3010350x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，设ykx=，则k的取值范围是（）A．14[]23，B．4[2]3，C．1[2]2，D．1[)2+∞，14.给出平面区域如图中的阴影部分所示，若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则a的值为__________________．15.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品销售收入分别为3 000元、2 000元.甲、乙产品都需要在A、B两种设备上进行加工．在每台A、B设备上加工1件甲，设备所需工时分别为1 h、2 h；加工1件乙，设备所需工A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h．问：如何安排生产可使收入最高？回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】1. D2. D3. ①②④4. （1）12( )( )x x -∞+∞，，； （2）12( ][ )x x -∞+∞，， 5. （1）22t m ==；；（2）13(0 )(1 )22，，6. （1）33[ ]22-，；（2）5( 7)( )3-∞-+∞，，7. （1）(1 )+∞，；（2）( 1]-∞，；（3）( 1)-∞，；（4）( 1]-∞， 8. （1）04150220x y x y x y ->⎧⎪+-<⎨⎪+-⎩≥；（2）036020y x y x y ⎧⎪-+⎨⎪-+<⎩≥≥9. B10. C11. 17 -11 12. C 13. C14. 3515. 每月生产甲产品200件，乙产品100件，可使收入最高.不等式及线性规划问题（随堂测试）1. 解不等式：|21|1x x --<．2. 已知不等式|2|||a x x ++≤的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________．3. 已知变量 x y ，满足约束条件2020x y y x y +-⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．【参考答案】1.{}|02x x <<2. [2 )+∞， 提示：min ()|2|||2a x x ++=≥．3. 2提示：2z x y =-在点(2，2)处取得最大值．不等式及线性规划问题(作业)例1： 解不等式2|2||1|1x x --+≥．【思路分析】由绝对值的零点，可得三段：1x <-，12x -<≤，2x ≥，由此解不等式组即可． 【过程示范】 原不等式转化为（1）12(2)(1)1x x x <-⎧⎨-+---⎩≥，解得1x <-．（2）122(2)(1)1x x x -<⎧⎨-+-+⎩≤≥，解得213x -≤≤．（3）22(2)(1)1x x x ⎧⎨--+⎩≥≥，解得6x ≥．综上，不等式的解集为62{|}3x x x ≤≥或．例2： 若实数 x y ，满足不等式组3113x y x y x y +--⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≥，则23z x y =+的最大值为________．【思路分析】本题属于线性规划问题．由题意得1330010x y x y x y +---⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≥≥，如图，阴影部分即为可行域．令z =0，画出直线230x y +=，在可行域内平行移动直线230x y +=，当直线233zy x =-+经过点(2 3)A ，时，纵截距最大，则23z x y =+的最大值为223313⨯+⨯=．1. 如果0a b >>，0m >，那么下列不等式中一定成立的是（ ）A ．b b m a a m +>+B ．a a m b b m ->-C ．b b m a a m +<+D ．a a m b b m-<-2. 设1a b >>，0c <，给出下列四个结论：①c ca b>；②c c a b <；③log ()log ()b a a c b c ->-； ④2( )n n a b n n >∈≥，N ． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①②③④3. 不等式2230x x -++<的解集是（ ） A ．{}|1x x <-B ．3{|}2x x >C ．3{|1}2x x -<<D ．3{|1}2x x x <->或4. 若关于x 的不等式||b x a -≤的解集为{|24}x x ≤≤，则a =______，b =______．5. 若不等式|2|1x ->与不等式20x ax b ++>的解集相同，则a =______，b =______．6.解下列不等式．（1）()(1)0x x+-+≥a x x--<（2）|2||21|0（3）|21||3|5+--≥x xx x-+-≤（4）2|1||3|57.已知()|3||1|=-++．f x x x（1）若()af x≥对一切实数x均成立，则实数a的取值范围是___________；（2）若存在实数x使()af x>成立，则实数a的取值范围是___________；（3）若不存在实数x使()2|1|f x x a-+<成立，则实数a的取值范围是__________．8.设x y，满足约束条件3101x yx--⎧⎨⎩≤≤≤≤，则2z x y=-的最大值为________．9.设变量x，y满足约束条件260260x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．3B．4C．6D．810. 设 x y ，满足约束条件110y x y y x -+⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则1x y +的取值范围为________．11. 设D 是不等式组12121000y x y x y +++-+⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域，则区域D 中的点( )P x y ，到直线10x y +-=的距离的最小值是______．12. 甲、乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务；乙校每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务．两校都有学生参加，甲校参加活动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返总车费不超过45元．问：如何安排甲、乙两校参加活动的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？【参考答案】1. C2. D提示：③log ()log ()log ()b a a a c a c b c ->->-．3. D4. 3 1提示：||b x a -=的解即为2 4，，∴将2 4x =，代入方程中求解即可． 5. -436. （1）当1a ≥时，解集为{}|1x x a x ><或； 当1a <时，解集为{}|1x x x a ><或． （2）1{|1}x x -≤≤（3）31{|}3x x -≤≤（4）10{|2}x x x -≤≥或7. （1）( 4]-∞，；（2）R ；（3）( 4]-∞-， 8. 3 9. C 10. [ 1 1]-， 提示：目标函数1x z y =+可以转化为11(1)y y z x x +--==-，(1)0y x ---即可行域中的点与点(0 1)-，的连线的斜率的取值范围，再求其倒数即可． 11.412. 甲校参加6人，乙校参加5人，受到服务的老人最多，为43人．提示：设甲校参加活动的人数为x ，乙校参加活动的人数为y ，则x ，y 满足*53145N x y x y x y +⎧-⎪⎨⎪∈⎩≥≤，，目标函数为35z x y =+，求目标函数的最大值．。