τ=
L 1 = R0 7
(s)
利用三要素公式，可得
i (t ) = 4 + (0 − 4)e −7t = 4(1 − e −7 t ) ( A)
4-4 电路如题图 4-3(a)所示，i(t)=10mA、R=10kΩ、L=1mH。开关接在 a 端为时已久， 在 t=0 时开关由 a 端投向 b 端，求 t≥0 时，u(t)、iR(t)和 iL(t)，并绘出波形图。
《电路与电子技术基础》第四章参考答案
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u c (t ) = U oc (1 − e τ )(V)
根据已知条件，得：Uoc=20V，τ=2s。因为τ=R0C，所以 R0=2/0.2=10Ω 当电容 C=0.05F 时，时间常数τ=10×0.05=0.5s。电容电压初始值为 uc(0+)=5V，稳态值 为 uc(∞)=20V，由三要素公式，可以得到全响应
u c (0 _ ) = 1 × 2 = 2(V)
开关闭合后
u c (0 + ) = u c (0 _ ) = 2(V)
τ = R0 C = (2 // 1) × 3 = 2(s)
u c (∞) = 1 × (1 // 2) =
所以
2 (V) 3
− t
u c (t ) = u c (∞) + (u c (0) − u c (∞))e 2 2 + (2 − )e −0.5t 3 3 2 − 0.5t − 0.5t = 2 e2 ) 1 3 + 3 (1 − e 14243 零输入响应 =
uc (0) = 3 × 2 = 6(V)
当开关投向 b 时电容电压的初始值
uc (0 + ) = uc (0 − ) = 6(V)
当开关投向 b 时电容电压的稳态值
u c ( ∞) = 0
τ=RC=3 (s)
由三要素法得
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t t 3
uc (t ) = uc (∞) + [u c (0) − uc (∞)]e
di L + RiL = 0 dt t≥0 时间常数为 L
t≥0
τ=
其解为
L 10 −3 = = 10 −7 (s) R 10 × 10 3
t
iL (t ) = 10e
则
−
τ
= 10e −10 t (mA)
t
7
t≥0
t
u L (t ) = L
diL R − 1 − = LiL (0)(− )e τ = LiL (0)(− )e τ dt L τ
i(∞) = is − i1 = 4 − 0 = 4(A)
把电感断开，如图 4-2(b)所示，可得开路电压
u oc = 10i1 + 4i1 = 14i1 = 56(V)
短路电流等于 i(∞)，所以戴维南等效电阻为
R0 =
u oc u 56 = oc = = 14(Ω) isc i (∞) 4
故原电路时间常数为
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电流 i(t)。
i1 is 4A 4Ω S (a) 习题 4-3 电路图 题图 4-2 习题 4-3 电路 10i1 + i 2H 4A i1 4Ω uoc (b) 习题 4-3 求戴维南电路图 10i1 + +
解：开关闭合前，电感中的电流为 0，开关闭合后，由于电感电流不能跳变，故 i (0 + ) = i (0 − ) = 0 t→∞，电感可看做短路，由 KVL 得 10i1+4i1=0 得到稳态时电流 i1=0A。 所以，电感稳态电流
iL (t ) = iL (∞) + [iL (0+) − iL (∞)]43; [2 − 2]e −t = 2 (A)
由此可知，该电路开关闭合前后，电路状态不变，无过渡过程。 4-3 电路如题图 4-2(a)所示，在 t=0 时开关闭合，闭合前电路已达稳态，求 t≥0 时的
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7 7
= −10 × 10 −3 × 10 × 10 3 e −10 t = −100e −10 t (V)
而
t≥0
iR (t ) = −iL (t ) = −10e −10 t ( mA )
7
t≥0
其波形图见图(b)、图(c)所示。 4-5 电路如题图 4-4 所示，开关接在 a 端为时已久，在 t=0 时开关投向 b 端，求 3Ω电 阻中的电流。 1Ω a b 分析： i(t) 1. 当稳态以后电容为开路，所以流过 1Ω和电 2Ω 1F 3Ω 容串联支路的电流为零，因此，电容两端的电压就 3A 是并联支路 2Ω支路两端的电压； 2. 欲求的电流可能发生跳变， 所以先求出连续 题图 4-4 习题 4-5 电路 量电容电压，再根据电压求出电流。 解：当开关在位置 a 已久时
a b i(t) R iR(t) + u(t) (a) 题图 4-3 iL(t) L 0 –100V (b) 习题 4-4 电路及波形图 t 0 –10mA (c) t uL 10mA i
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分析：开关处于 a 位置已久，即电路与已达稳态，可以很容易确定流过电感中的电流， 当开关从 a 投向 b 端，右边电路与电源断开，主要是电感储能作用在电路上，讨论由电感的 储能所引起的零输入响应响应。 解： 图 4-3(a)开关在 a 位置时，电感中的电流也即开关在位置 b 电感中的电流初始值为 iL(0+)= iL(0-)=i(t)=10(mA) 图 4-3(a)，t≥0 时的电路可列出
uc(0+)= uc(0–)=5V uc(t)的零输入响应
' uc (t )
18 (s) 5
（其中 R0 是戴维南等效电路电阻）
= 5e
−
t
τ
= 5e
−
5 t 18 ( V )
t≥0
5 t 18
uo(t)的零输入响应
' uo (t )
=
' −2u c (t ) × 0.5
= −5e
−
t≥0
当 t≥0 时，us(t)=1 作用在电路，uc(t)的零状态响应
C=0.05F，且 uc(0-)=5V，其他条件不变，求 t≥0 时的全响应 uc(t)。
含源 电阻 网络
+ uc –
C
RO + Uoc –
+ C – uc
(a) 习题 4-8 电路 题图 4-7
(b) 戴维南等效电路图 习题 4-8 电路
分析：先求出原电路的戴维南等效电路如图 4-7(b)所示，首先确定等效电路参数，因为 已知 C=0.2F 时的零状态响应，根据这个已知条件，就能确定 R0 和 Uoc。确定了 R0 和 Uoc 后， 就可以在此电路上进一步进行分析。 解：由图可知电容 C 电压的零状态响应为
" uc (t ) = − t − t 2 2 × 1× (1 − e 18 ) = (1 − e 18 )(V) 2+3 5 5 5
t≥0
uo(t)的零状态响应
− t 2 " " uo = −2u c (t ) × 0.5 = − (1 − e 18 )(V) 5 5
t≥0
4-8
电路如题图 4-7 所示，电容 C=0.2F 时零状态响应 u c (t ) = 20(1 − e −0.5t ) V。现若
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习题四
4-1 在日常电工修理中，常用模拟万用表 R × 1000Ω 这一档来检查电容量较大的电容 器的质量。 测量前， 先把这一档的零点调整好， 并将被测电容器短路使它放电完毕。 测量时， 如果 ①指针满偏转，说明电容器已短路； ②指针不动，说明电容器已断开； ③指针挥动后，再返回万用表无穷大（∞）刻度处，说明电容器是好的； ④指针挥动后，不能返回万用表无穷大（∞）刻度处，说明电容器有漏电； ⑤指针挥动后，返回时速度较慢，则被测电容器的电容量较大还是较小。 试根据 R、C 充电过程的原理解释上述诸现象。 分析：这种方法只适合电容容量较大电容器测试，对于 容量较小的电容器，由于过渡过程太快，万用表的指针机械 万 + 被 用 运动无法跟随电流变化速度，以上现象不明显。 测 表 万用表的电阻档可以等效为电压源串电阻形式，万用表 等 – 电 效 指针的摆动幅度与其电流成正比，可根据一阶动态电路的分 电 容 路 析理论来解释现象。用万用表测试电容参见附图。 答：用万用表在测试前首先调零，即表笔短路（电阻为 0）时，指针满偏。在测试电容时，相当于 RC 电路零状态响应，由于电容电压不能跳变， 所以初始时电容电压为 0，万用表中的电流最大，指针应该满偏，但随着充电过程，电容电 压逐渐增加，万用表电流逐渐减小，指针逐渐向左移动，直到电容充电完成，万用表电流为 0。 ①指针满偏转，并不回到无穷大，说明电容器没有充电，意味着电容器短路。经常是 电容器被击穿； ②指针不动，说明电容没有充电过程，流过电容的电流为 0，说明电容器已断开。经常 是电容器的连接点断开； ③指针挥动后，再返回万用表无穷大（∞）刻度处，正好是电容充电过程中 RC 电路中 的电流初始时最大，然后按照指数衰减，说明电容器是好的； ④指针挥动后，不能返回万用表无穷大（∞）刻度处，说明充电过程一直未结束，电 容器无法充满电，说明电容器有漏电现象； ⑤指针挥动后， 返回时速度取决于 RC 电路中时间常数， 时间常数越大， 返回时间越慢， 由于万用表中 R 一定，所以 C 越大，时间常数越大，返回速度越慢。 4-2 电路如题图 4-1 所示，电源电压为 24V，且电路原已 S A。 达稳态，t=0 时合上开关 S，则电感电流 iL(t)= 12Ω iL 分析：由于电路原已达稳态，电感两端电压为 0，合上开 + 关 S 后，加在 6Ω电阻两端电压也为 0，该电阻中电流为 0，故 24V 4H 6Ω 电感电流为合上开关 S 前的稳态电流， 即： iL(t)=24V/12Ω=2A。 用三要素公式可以得到同样的结果，电感电流初始值 iL(0+)=2A，稳态值 iL(∞)=2A，时间常数τ=L/R=4/(12//6)=1s, 题图 4-1 习题 4-2 电路 所以：