± 2
.
x
小
结
本节讲了方程、函数、不等式中 的数形结合问题，在解题时既要由 数想形，又要以形助数。常见的 “以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念， 解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、 并、补、运算等问题是非常有效的。
（2）借助于函数图象，利用函数图象 分析问题和解决问题是数形结合的基本 方法。
例1、设函数f(x)是函数y=1-x与函数 y = x+1 中的较 小者，则函数f(x)的最大值为 。
分析： y = x + 1即y2 = x + 1( y ? 0), 其 图象为抛物线的一部分，y=1-x表示一条直 y = x+ 1 线，在同一坐标系中作出y=1-x与 图象可知f(x)的图象应为图中实线部分。故
华罗庚先生曾指出：
数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔裂分家万事非。
作业：
1.求函数 y = | log |x- 1| | 2 区间 2.已知关于x的方程 x
x
2
的单调递增
- 4| x |+ 5= m
的根的个数
有4个不相等的实根，则实数m的取值范围 3. 求方程
lg = sin x
为_________。
2 2 ( x ， y ) | x + y = 9， 0 < y ? 3} 集合M可化为 { 分析：
表示以(0,0)为圆心,以3为半径 的圆在x轴上方的部分。 集合N则表示一组平行直线,如图, 欲使 M∩N≠φ 即,直线与半 圆有公共点,则直线向上平移与圆 相切向下平移过点(3,0) 易知 -3<b≤ 3 2
y
5 2
3 4
如图
-1
0
-9 16
1 - 2
x
-1
析 ：问题可转化为抛物线
3 3 2 9 y1 = x - x = ( x - ) 2 4 16
2
与直线 y2 = k 的交点个数问题 。 y
5 2
3 4
如图
1 2
-1
0
-9 16
1 - 2
x
≤ k ＜
5 2
-1
例3：
对一切实数x不等式 |x+1|+|x-2|>m 恒 成立，则实数m的取值范围是________.
数形结合在函数、方程与不等式中的
简单应用（一）
执教：龚光勇
安乡五中数学组
2005年11月
数形结合:就是把抽象的数学语
言与直观的图形结合起来进行思索， 使抽象思维与形象思维结合，通过 “以形助数”或“以数解形”，从而 利用数形的辩证统一，使复杂问题 简单化，抽象问题具体化，从而起 到优化解题途径的目的。数形结合 是历年高考重点内容之一。
y
2
y=2
O
X
y=-2
x=a
作函数
1 y= x
1 y= x
，y=-3,y=2的图象，观察
的图象夹在两直线之间的部分。易知，
y
1 2
1 3
1 1 x < - 或x > 3 2
y=2
o
x
y=-3
练习：
2.在同一坐标系中,y =
y
ax2 + bx 与y=ax+b (ab ¹ 0) 的图象可能是( D
y O y y
X X
)
O
x
O
X
O
A
B
C
D
1 1 x < - 或x > 1 3 2 4、若-3< <2，则x的取值范围是____________________________.
3、要使不等式 - 2 ? x 2 2ax + 6 ? 2 恰有一解，则a=
此题中应注意抛物线过原 点，直线与抛物线在X轴上的 一个交点重合。直线的斜率为 a在Y轴上的截距为b。
作函数 y = x - 2ax + 6 及y=2，y=-2的图象，要使 2 y = x - 2ax &方程 x 2 - 2ax + 6 = 2 两个相等实根,据此可求 a的值。
y
3 2
b o 3 x
-3
练习：
2 y = ax + bx + c 的系数满 １.如图已知二次函数 足abc<0,则 该二次函数的图象可能是（ C ）
y o X
y
y
y X o X
o
X
O
A B C D 说明：本题考查读图视图能力，要求能准确理解图形中所包含的信 息，由形想数。
分析：由开口方向确定a的正负，由与y轴交点 的纵坐标判断C的正负，结合对称轴的位置可确 定b的符号。
思路一：根据绝对值的几何意义可知, 分析：
|x+1|+|x-2|表示数轴上的点到－1与2两点的距离之 和, 如图
|x+1|+|x-2|≥3，所以
|x-2| |x+1|
m<3
2 ｘ
x
●
-1
0
1
1-2x (x≤-1) 思路2：设f(x)=|x+1|+|x-2|，则 f(x)= 3 (-1＜x＜2), 2x-1 (x≥2 ) 易知 f(x)min=3,所以 m<3 y 3
●
思路3：利用|a|+|b|≥|a±b|,则 |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以 m<3
y=m
●
-1
o
●
x
2
例4：
2 M = {( x , y ) | y = 9 x , y > 0} ,集合 若集合
N = {( x，y) | y = x + b} ,且
M
N¹ f
, 则b的取值范围
y
1 1
-1 o 1 x
f (x)max = 1
例２、关于x的方程
3 x - x= k 2
2
在（-1, 1）内只有一个实根，则k的取值范围 _______ （相等的根按两个计）
析 ：问题可转化为抛物线
与直线
3 3 2 9 y1 = x - x = ( x - ) 2 4 16
2
y2 = k 的交点个数问题。