3.2.2 对数函数
【学习要求】
1.理解对数函数的概念;
2.掌握对数函数的性质;
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 【学法指导】
通过画函数y ＝log 2x 和y ＝log x 的图象,观察其图象特征及由图象归纳函数的性质,进一步培养由特殊到一般、由具体到抽象的思维方法,以及数形结合的数学思想,养成善于观察、归纳的学习习惯. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.对数函数的概念:
函数 y ＝log a x (a>0,a ≠1,x>0) 叫做对数函数. 2.a :
(1)对数函数的定义域是 正实数集 ,即 (0,＋∞) ,值域是实数集R; (2)在定义域内,当 a>1 时是增函数, 当 0<a<1 时是减函数; (3)图象都通过点 (1,0) . 研一研：问题探究、课堂更高效 探究点一 对数函数的概念
问题1在现实生活的细胞分裂过程中,细胞个数y 是分裂次数x 的指数函数y ＝2x ,只要知道了x 就能求出y.现在反过来研究,知道了细胞个数,如何确定分裂次数？ 问题2在问题1得出的关系式中,x 是y 的函数吗？为什么？
问题3我们把函数x ＝log a y(a>0,a≠1)叫做对数函数,但习惯上自变量用x 表示,所以这个函数就写成y ＝log a x.这样一来,你能给对数函数下一个定义吗？
问题4你能说出在指数函数y ＝2x 和对数函数x ＝log 2y 中,x,y 两个变量之间的相同点及不同点吗？
问题5函数y ＝log a x 与函数y ＝a x (a>0,a≠1)的定义域、值域之间有什么关系？
例1求下列函数的定义域(a>0,a≠1):
(1)y ＝log a x 2; (2)y ＝log a (4－x).
跟踪训练1 求下列函数的定义域(a>0,a≠1): (1)y ＝log a (9－x 2); (2)y ＝log 2(16－4x ).
探究点二 对数函数的图象及性质
问题1如何作出函数y ＝log 2x 及y ＝log x 的图象？
问题2观察作出的函数y ＝log 2x 及y ＝log x 的图象,指出这两个函数有哪些相同性质和不同性质？
问题3 从描出的点及作出的图象中能看出函数y ＝log 2x 及y ＝log 1
2x 的图象的对称关系吗？
问题4由具体的函数y ＝log 2x 及y ＝log 1
2
x 的性质,你能抽象出对数函数y ＝log a x (a>0,a≠1,x>0)的哪些性质？
探究点三 对数函数性质的应用 例2(1)比较log 23与log 23.5的大小;
(2)已知log 0.7(2m)<log 0.7(m －1),求m 的取值范围.
跟踪训练2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log 23.4,log 28.5; (2)log 0.31.8,log 0.32.7; (3)log a 5.1,log a 5.9(a>0,a≠1).
例3证明:函数f(x)＝log 2(x 2＋1)在(0,＋∞)上是增函数.
跟踪训练3求证:函数f(x)＝log 2x
1－x
在(0,1)上是增函数.
练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.函数y ＝log 2x －2的定义域是 ( ) A.(3,＋∞) B.[3,＋∞) C.(4,＋∞) D.[4,＋∞)
2.已知log a <1,那么a 的取值范围是 ( )
A.0<a<12
B.a>12
C.12<a<1
D.0<a<1
2
或a>1
3.函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为________.
课堂小结：
1.在对数函数y ＝log a x(a>0,且a≠1)中,无论a 取何值,对数函数y ＝log a x(a>0,且a≠1)的图象均过点(1,0),函数图象落在第一、四象限,且当0<a<1时函数单调递减,当a>1时函数单调递增.
2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,若“底”的范围不明确,则需分两种情况讨论;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.。