2015年安徽省芜湖一中自主招生考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）比﹣1小﹣3的数是（）A．﹣4B．4C．2D．﹣22．（4分）某个长方体主视图是边长为1cm的正方形．沿这个正方形的对角线向垂直于正方形的方向将长方体切开，截面是一个正方形．那么这个长方体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）已知AB是⊙O内接正四边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC 的度数为（）A．105°B．150°C．30°D．105°或15°4．（4分）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1B．a＜﹣1C．a≤1D．a≤﹣15．（4分）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为（）A．12B．﹣6C．﹣6或﹣12D．6或126．（4分）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（）A ．样本容量是200B ．D 等所在扇形的圆心角为15°C ．样本中C 等所占百分比是10%D ．估计全校学生成绩为A 等大约有900人7．（4分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a （a ≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A ．a 2﹣πB ．（4﹣π）a2C ．πD ．4﹣π8．（4分）现对某商品进行打七折促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加几分之几？（）A ．B ．C ．D ．9．（4分）有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少（）A ．500B ．520C ．780D ．200010．（4分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，则坐标轴上a 、b 、c 的值为（）A．a＝8，b＝40，c＝48B．a＝6，b＝40，c＝50 C．a＝8，b＝32，c＝48D．a＝6，b＝32，c＝50二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）如图，水平地面有一个面积为120πcm 2的灰色扇形OAB，其中OA的长度为12cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图最左边的扇形向右滚动至点A再一次接触地面时，则O点移动的路径长为．12．（5分）在锐角三角形ABC中，BC＝，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．13．（5分）图中两个正方形的中心重合，小正方形的顶点A、C两点在大正方形的对角形上，△HAC是等边三角形，若AB＝2，则大正方形的边长为．14．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC．其中正确结论的序号是．三、解答题（每小题8分，共16分）15．（8分）计算：﹣12016﹣|1﹣tan60°|+×（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0．16．（8分）先化简，再求值（1﹣）÷（x ﹣），其中x ＝．四、解答题（16分）17．（8分）某班举行演讲革命故事的比赛中有一个抽奖活动．活动规则是：进入最后决赛的甲、乙两位同学，每人只有一次抽奖机会，在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中任选一个数字，选中后可以得到该数字后面的奖品，第一人选中的数字，第二人就不能再选择该数字．（1）求第一位抽奖的同学抽中文具与计算器的概率分别是多少？（2）有同学认为，如果．甲先抽，那么他抽到海宝的概率会大些，你同意这种说法吗？并用列表格或画树状图的方式加以说明．18．（8分）将抛物线y ＝2x 2﹣12x+22绕点（5，2）旋转180°后得到一新的抛物线，试求新抛物线的解析式．五、解答题（每小题10分，共20分）19．（10分）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC ）为45°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE （下面两个小题结果都保留根号）．（1）若修建的斜坡BE 的坡比为：1，求休闲平台DE 的长是多少米？（2）一座建筑物GH 距离A 点33米远（即AG ＝33米），小亮在D 点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM ）为30°．点B 、C 、A 、G ，H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？20．（10分）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映P A2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．六、（24分）21．（12分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利＝销售利润+返利）22．（12分）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点P在AC上，且∠MPN＝90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P 作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN＝PM．（2）当PC＝PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．七、（14分）23．（14分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？2015年安徽省芜湖一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．【解答】解：﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2，故选：C．2．【解答】解：易得主视图中对角线的长为，由于截面是一个正方形，那么可得这个长方体的宽也为，俯视图应表现出几何体的长与宽为1，．故选：D．3．【解答】解：如图所示，∵AB是⊙O内接正方形的一条边长，AC是同一个⊙O内接正六边形的一条边长，∴的度数＝＝90°，的度数＝＝60°．当点C在C1的位置时，∵优弧的度数＝360°﹣90°﹣60°＝210°，∴∠BAC1＝×210°＝105°；当点C在C2的位置时，的度数＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAC2＝×30°＝15°．综上所述，∠BAC的度数是105°或15°．故选：D．4．【解答】解：，由①得，x≥﹣a，由②得，x＜1，∵不等式组无解，∴﹣a≥1，解得：a≤﹣1．故选：D．5．【解答】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，∴当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝4，代入一次函数解析式y＝kx+b得：，解得，∴kb＝3×（﹣2）＝﹣6；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，∴当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝﹣2，代入一次函数解析式y＝kx+b得：，解得，∴kb＝﹣3×4＝﹣12．所以kb的值为﹣6或﹣12．故选：C．6．【解答】解：A、＝200（名），则样本容量是200，故A正确；B、成绩为A的人数是：200×60%＝120（人），成绩为D的人数是200﹣120﹣50﹣20＝10（人），D等所在扇形的圆心角为：360°×＝18°，故B错误；C、样本中C等所占百分比是1﹣60%﹣25%﹣×100%＝10%，故C正确；D、全校学生成绩为A等大约有1500×60%＝900人，故D正确；由于该题选择错误的，故选：B．7．【解答】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是：．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4（1﹣）＝4﹣π．故选：D．8．【解答】解：设销售量要比按原价销售时增加x，根据题意得：0.7（1+x）＝1，解得：x＝．故选：C．9．【解答】解：设A＝3，B＝9，C＝8，操作第n次以后所产生的那个新数串的所有数之和为S n．n＝1时，S1＝A+（B﹣A）+B+（C﹣B）+C＝B+2C＝（A+B+C）+1×（C﹣A）；n＝2时，S2＝A+（B﹣2A）+（B﹣A）+A+B+（C﹣2B）+（C﹣B）+B+C＝﹣A+B+3C＝（A+B+C）+2×（C﹣A）；…故n＝100时，S100＝（A+B+C）+100×（C﹣A）＝﹣99A+B+101C＝﹣99×3+9+101×8＝520．故选：B．10．【解答】解：由题意，得甲的速度为：8÷2＝4米/秒，乙的速度为：200÷40＝5米/秒，∴a＝8÷（5﹣4）＝8，b＝200﹣4×（40+2）＝32，c＝（200﹣8）÷4＝48．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）11．【解答】解：设扇形的圆心角为n，则＝120π∴n＝300°∵扇形的弧长为＝20π∴点O从开始到移动到OB与直线垂直，移动的距离20πcm．∵∠AOB＝360﹣300＝60°，则△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝12cm，则A在最后一个图形的位置旋转到A与直线接触，O移动的距离是：＝2π，则O点移动了22π．故答案为：22π．12．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC＝，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC?cos45°＝4×＝4．故答案为：4．13．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝OC＝，∵△HAC是等边三角形，∴∠AHO＝∠CHO＝30°，在Rt△HOC中，OH＝OC?tan60°＝，∵四边形EFGH是正方形，∴OH＝OG＝，HO⊥OG，∴在Rt△HOG中，HG＝＝＝2，故答案为2．14．【解答】证明：过P作PG⊥AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP＝EP，在△GPB中，∠GBP＝45°，∴∠GPB＝45°，∴GB＝GP，同理，得PE＝BE，∵AB＝BC＝GF，∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，∴AG＝PF，∴△AGP≌△FPE，①∴AP＝EF；∠PFE＝∠GAP∴④∠PFE＝∠BAP，②延长AP到EF上于一点H，∴∠P AG＝∠PFH，∵∠APG＝∠FPH，∴∠PHF＝∠PGA＝90°，即AP⊥EF；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．∵GF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，又∵∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC，∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴⑤DP＝EC．∴其中正确结论的序号是①②④⑤．故选B．三、解答题（每小题8分，共16分）15．【解答】解：原式＝﹣1﹣2+8+1＝6．16．【解答】解：原式＝?＝?＝当时，∴原式＝﹣＝四、解答题（16分）17．【解答】解：（1）第一位抽奖的同学抽中文具的概率是；抽中计算器的概率是；（2）不同意．从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共12种，而且这些情况都是等可能的．先抽取的人抽中海宝的概率是；后抽取的人抽中海宝的概率是＝．所以，甲、乙两位同学抽中海宝的机会是相等的．18．【解答】解：∵y＝2x 2﹣12x+22＝2（x﹣3）2+4，∴顶点坐标（3，4）∴抛物线绕点（5，2）旋转1800后得到新抛物线的顶点为（7，0），∴物线解析式为：y＝﹣2（x﹣7）2即y＝﹣2x2+28x﹣98．五、解答题（每小题10分，共20分）19．【解答】解：（1）∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，∴BD＝30米，∴DF＝BD?cos∠BDF＝30×＝30（米），BF＝DF＝30米，∵斜坡BE的坡比为：1，∴＝，解得：EF＝10（米），∴DE＝DF﹣EF＝30﹣10（米）；答：休闲平台DE的长是（30﹣10）米；（2）∵AD＝BD＝30米，在Rt△ADP中，∵∠DAP＝45°，∴P A＝DP＝30米，∵四边形MGPD是矩形，∴GMPD＝30米，设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米），在Rt△DMH中，tan30°＝，即＝，解得：x＝30+21，答：建筑物GH的高为（30+21）米．20．【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ，∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝90°，∠ABP+∠PBC＝∠CPQ+∠PBC＝90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，有AC＝4，AP＝，PC＝3，∴PQ＝＝2．（3）存在2PB2＝P A2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∵AP＝CQ，∴PQ2＝PC2+CQ2＝P A2+PC2，故有2PB2＝P A2+PC2．六、（24分）21．【解答】解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27﹣0.1×（3﹣1）＝26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]＝（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x?（0.1x+0.9）+0.5x＝12，整理，得x2+14x﹣120＝0，解这个方程，得x1＝﹣20（不合题意，舍去），x2＝6，当x＞10时，根据题意，得x?（0.1x+0.9）+x＝12，整理，得x2+19x﹣120＝0，解这个方程，得x1＝﹣24（不合题意，舍去），x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去．答：需要售出6部汽车．22．【解答】解：（1）如图1，作PF⊥BC，∵∠ABC＝90°，PE⊥AB，∴PE∥BC，PF∥AB，∴四边形PFBE是矩形，∴∠EPF＝90°∴P是AC的中点，∴PE＝BC，PF＝AB，∵∠MPN＝90°，∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF，∴△MPE∽△NPF，∴＝＝，∵∠A＝30°，在RT△ABC中，cot30°＝＝，∴＝，即PN＝PM；（2）如图2，PN＝PM，如图2 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，∴四边形BFPE是矩形，∴△PFN∽△PEM，∴＝，又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A＝30°，∠ACB＝60°，∴PF＝PC，PE＝P A，∴＝＝，∵PC＝PA∴＝，即：PN＝PM，如图3，在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，∴四边形BFPE是矩形，∴△PFN∽△PEM，∴＝，又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A＝30°，∠ACB＝60°，∴PF＝PC，PE＝P A，∴＝＝，∵PC＝PA∴＝，即：PN＝PM．七、（14分）23．【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数y＝（x＞0）不是有界函数；函数y＝x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．∵﹣4+1＝﹣3，2+1＝3，∴y＝x+1（﹣4＜x≤2）边界值为3．（2）∵k＝﹣1＜0，∴函数y＝﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x＝a时，y＝﹣a+1＝2，解得：a＝﹣1；当x＝b时，y＝﹣b+1，∴，∴﹣1＜b≤3；（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，函数值小于﹣1，此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．当x＝﹣1时，y＝1，函数y＝x2过点（﹣1，1）；当x＝0时，y最小＝0，函数y＝x2过点（0，0）．都向下平移m个单位，则函数y＝x2﹣m过点（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m），∵≤t≤1，∴或，解得：0≤m≤或≤m≤1．故当0≤m≤或≤m≤1时，满足≤t≤1．。