f= H-1[g- n]
由于离散卷积的周期性，有he(x)=he(x+M)，H可以写成
he ( M 1) he (0) h (1) he (0) e H he ( M 1) he ( M 2) he (1) he (2) he (0)
he ( M 1) f e (0) ne (0) he ( M 2) f e (1) ne (1) he (0) f e ( M 1) ne ( M 1)
逆滤波复原
对于线性移不变系统而言
上式两边进行傅立叶变换得
式中G(u,v),F(u,v),H(u,v)和N(u,v)分别是g(x,y), f(x,y), h(x,y) 和n(x,y)的二维傅立叶变换。H(u,v)称为系统的传递函数。 从频率域角度看，它使图像退化，因而反映了成像系统 的性能。
逆滤波复原
逆滤波复原
解决该病态问题的唯一方法就是避开H(u,v)的零点即 小数值的H(u,v)。两种途径： 一是：在H(u,v)=0及其附近，人为地仔细设置H-1(u,v)的 值，使N(u,v)*H-1(u,v)不会对结果产生太大影响。下图给出 了H(u,v)、H--1(u,v)同改进的滤波特性HI(u,v)的一维波形，从 中可看出与正常的滤波的差别。
F(u,v)= (G(u,v)- N(u,v))/ H(u,v) f(x,y)= F-1[F(u,v)]
三、循环矩阵及傅立叶化
一个一维离散序列通过一个系统发生失真的过程可用下 图表示 f(x) g(x)
h(x) n(x)
+
如果考虑噪声，根据离散序列的卷积定理，有
ge ( x )
M 1 m 0
逆滤波复原
• (a)原图；(b)退化图像；(c)H(u,v)；(d)H(u,v)0
降质与复原示例: Gonzalez & Woods
大气湍流模型 (Atmospheric Turbulence Model): a.无湍流 b.湍流严重 c.湍流轻微 d.湍流很小
a.
b.
c.
d.
Degradation & Restoration Examples: Gonzalez & Woods
g ( x, y)


f ( , ) ( x , y )dd
因此，

f ( , )T ( x , y )dd

定义于不在原点 的二维δ函数 由于f(α,β )与x，y 没有关系
令h(x,α;y,β) =T[δ (x-α,y-β) ]，则有：
第六讲
图像的恢复与重构
什么是图像退化：图像的质量变坏叫做退化。退化的形式有
图像模糊、图像有干扰等。
图像退化的处理方法：无论是由光学、光电或电子方法获得的 图像都会有不同程度的退化；退化的形式多种多样。如传感器 噪声、摄像机未聚焦、物体与摄像设备之间的相对移动、随机 大气湍流、光学系统的相差、成像光源或射线的散射等；如果


图像增强：通过某些技术 来突出图像中感兴趣的特 征，在对图像的处理过程 中，不考虑图像退化的真 实物理过程 图像复原：针对图像的退 化原因做出补偿，使恢复 后的图像尽可能接近原图 像
图像的恢复与重构
典型的图像复原方法是根据图像退化的先验知
识建立一个退化模型，以此模型为基础，采用
滤波等手段进行处理，使得复原后的图像符合
f
e
(m)he ( x m) n(x)
x 0, ,2 ,...,M1 1
扩展为周期为 M的序列
用矩阵表示，可以写成
he ( 1) g e (0) he (0) g (1) h (1) he (0) e g Hf n e g e ( M 1) he ( M 1) he ( M 2)
通常在无噪声的理想情况下，上式可简化 则 1/H(u,v)称为逆滤波器。对上式再进行傅立叶反变换 可得到f(x,y)。但实际上碰到的问题都是有噪声，因 而只能求F(u,v)的估计值
然后再作傅立叶逆变换得
逆滤波复原
这就是逆滤波复原的基本原理。其复原过程可归 纳如下： (1)对退化图像g(x,y)作二维离散傅立叶变换， 得到G(u,v)； (2)计算系统点扩散函数h(x,y)的二维傅立叶变 换，得到H(u,v)。 （3）计算 （4）计算
=
+
MN×1 MN×MN MN×1 MN×1
特殊退化模型及参数的估计

实际应用中经常碰到的降质因素，及相应的模糊算子：



运动模糊： 通常在拍摄过程中，相机或物体移动造成的运动模糊， 可以用一维均匀邻域像素灰度的平均值来表示 大气扰动模糊： 在遥感和航空摄影中，由于曝光时间过长引起的模糊， 可用高斯点扩散函数来表示 均匀不聚焦模糊： 由于相机聚焦不准确引起
的逆傅立叶变换，求得
。
逆滤波复原
•病态性质 (1) H(u,v)= 0 ：无法确定F(u,v) (2) H(u,v)0：放大噪声 若噪声为零，则采用逆滤波恢复法能完全再现原图像。若 噪声存在，而且H(u,v)很小或为零时，则噪声被放大。这意味 着退化图像中小噪声的干扰在H(u,v)较小时，会对逆滤波恢复 的图像产生很大的影响，有可能使恢复的图像和f(x,y)相差很 大，甚至面目全非。
H (u, v) exp j 2 (ux0 (t ) vy0 (t )dt
T 0
d是散焦点扩展函数的直径, J1(•) 是第一类
2) 噪声的估计
分别加了高斯、瑞利、伽玛噪声的图像和直方图
分别加了指数、均匀、椒盐噪声的图像和直方图
图像恢复——逆滤波复原



1960年代中期, 逆滤波(去卷积)开始被广泛用 于数字图像复原. Nathan用二维逆滤波方法来处理由漫游者、探 索者等外星探索发射得到的图像。 同一时期，Harris采用点扩散函数的解析模型 对望远镜图像中由于大气扰动所造成的模糊进 行了逆滤波（去卷积），从此，逆滤波（去卷 积）就成了图像复原的一种标准技术。
一定的准则，达到改善图像质量的目的。
先做恢复处理，再做增强处理
概述

图像降质原因

噪声和光学系统等 无噪声降质模型

降质模型


有噪声降质模型
Restoration Model
f(x,y)
降质模型
复原滤波器
f(x,y)
无约束还原方法
• 逆滤波/去卷积(Inverse Filter) • Pseudo-inverse Filter
特殊退化模型及参数的估计 1) 点扩展函数的估计
（一）运用先验知识: 大气湍流、光学系统散焦、照相机与 景物相对运动等，根据导致模糊的物理过程 （先验知识）来确定h(x,y)或H(u,v)。 （1）长时间曝光下大气湍流造成的转移函数
H (u, v) exp[c u v
2

2 5/ 6

]
g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(n,y)其中n(x, y)为噪声图像。
二、离散图像退化模型
对于图像降质过程进行数学建模，设： f(i, j)为原始图像；y(i, j)为降质图像；h(i, j; k, l)为点 扩散函数；图像为M×N维。有
y(i, j )
M 1 N 1 k 0 l 0
H0 H g Hf n 1 H M 1 H M 1 H0 H M 2 H1 f e (0) ne (0) H2 f e (1) ne (1) H 0 f e ( MN 1) ne ( MN 1)
(a)图像退化响应 (b)逆滤波器响应 (c)改进的逆滤波器响应
逆滤波复原
二是：使H(u,v)具有低通滤波性质。
1 2 (u 2 v 2 ) D0 H 1 (u, v) H (u, v) 2 2 2 0 (u v ) D0
逆滤波复原
• (a)点光源f(x,y)。(b)退化图像g(x,y) • G(u,v)=H(u,v)F(u,v)H(u,v)
我们对退化的类型、机制和过程都十分清楚，那么就可以利用
其反过程来复原图像。
概述
图像恢复源自指将退化的图像尽量恢复到原来的状态 沿着图像退化的逆方向过程进行，根据先验知识分 析退化原因，建立降质模型； 分析降质模型，采取某种复原方法； 恢复或重建原有图像。

图像复原方法


概述

图像复原与图像增强都 是为了改善图像的质量， 但有区别：
有约束还原方法
• 维纳滤波器 ( Wiener Filter)
一、图像退化模型
f(i, j)：原始图像 g(i, j)：降质图像 T(· )：成像系统的作用，则： g(x,y)=T[f(x,y)] 设T是线性移不变的。 一幅连续的图像f(x,y)可以用抽样函数的二维卷积表示：

f ( x, y)
C是与湍流性质有关的常数。
(a) 湍流可忽略 (b) 严重的
(c) 中等的
(d) 较小的
（2）光学散焦
H (u , v ) J 1 (d )
d
(u 2 v 2 )1/ 2
贝塞尔函数。 （3）照相机与景物相对运动 设T为快门时间，x0(t)，y0(t)是位移的x分量 和y分量
x 0,1,2,..., -1 M y 0,1,2,..., -1 N
用矩阵形式表示上式：g=Hf+n
g、f和n分别表示M×N的函数矩阵ge(i,j)、fe(i,j)和ne(i, j)