两角和与差及倍角公式（一）
【考点导读】
1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；
2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；
3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；
4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】
1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．
2. 化简2cos 6sin x x -=_____________
． 3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________
． 4.化简：
sin sin 21cos cos 2αααα
+=++___________
． 【范例解析】
例 .化简：（1）
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()
44
x x x x ππ-+
-+； （2）
(1sin cos )(sin cos )
22(0)22cos θθ
θθθπθ
++-<<+． （1）分析一：降次，切化弦． 解法一
：
原
式
=
2221
(2cos 1)2
2sin()
4cos ()
4cos()4
x x x x π
ππ----22
(2cos 1)4sin()cos()
44
x x x ππ
-=
--2cos 22sin(2)2
x
x π
=
-1
cos 22
x =．
分析二：变“复角”为“单角”． 解法二
：原式
221
(2cos 1)21tan 222(sin cos )
1tan 22
x x x x x -=
-⋅++2
2c o
s 2c o s
s 2(s
i
c o s
s
x x x x x x x
=-
⋅++
1c
o
s
2
x =．
（
2
）
原
式
=
22
(2sin
cos
2cos )(sin cos )2
22224cos 2
θ
θ
θθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθ
θθθ--⋅==
12
3＋cos2x 22cos()3x π
+
tan α
0θπ<<，02
2
θ
π
∴<
<
，cos
02
θ
>，∴原式=cos θ-．
点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等． 【反馈演练】
1．化简
22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αα
αα
tan 2α． 2．若sin tan 0x x ⋅<，化简1cos 2x +=_________．
3．若0＜α＜β＜
4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则a 与b 的大小关系是_________．
4．若sin cos tan (0)2
π
αααα+=<<，则α的取值范围是___________． 5．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= 1 .
6．化简：
22
2cos 12tan()sin ()
44
απ
π
αα--⋅+．
解：原式=
222cos 12sin()
4cos ()
4cos()4
απ
απαπα--⋅--cos 22sin()cos()
44
α
ππ
αα=
-⋅-cos 21cos 2α
α
=
=．
7．求证：2
2
2
sin 22cos cos 22cos x x x x +=．
证明：左边=222
4sin cos 2cos cos 2x x x x +2
2
2
2
2cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==
右边．
8．化简：2
2
sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．
解：原式=2
2
sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-
2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++- 2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+ 2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++ 2(sin cos sin cos )αββα=+ 2sin ()αβ=+．
)3
,4(π
π 2cos x - a b <。