集合1、集合的含义把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．2、集合中元素的三个特征(1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ∉A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同．(3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法．(2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性．(3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ∉A ． 5、常用数集的符号表示6、有限集与无限集含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92 B ．98C ．0D ．0或98例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}．1．子集例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A⊆B或B⊇A．2．真子集例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A)3．相等若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0.4．空集没有任何元素的集合叫空集，记为∅.空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集例3：下列各式正确的是________(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)∅={0}；(4)0⊆{0}；题型三子集关系的理解应用例4：写出满足{a，b}⊆A⊆{a，b，c，d}的所有集合A.题型三集合的表示法例5：若{1,2}＝{x|x2＋ax＋b＝0}，则a＝________.b＝________.1．交集由所有属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，(读作“A 交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，用Venn图表示如下：例如：{1,2,3,6}∩{1,2,5,10}＝{1,2}.例如：设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|－2＜x＜3}2．并集对于给定的两个集合A和B，把它们所有的元素并在一起所组成的集合，叫做A，B的并集；记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．用Venn图表示如下：例如：{1,2,3,6}∪{1,2,5,10}＝{1,2,3,5,6,10}.例如：设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝{x|－1＜x＜3}.3．补集若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．用Venn图表示如下：例如：若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,5}，则∁U A＝{1,3}.例如：若U＝{x|x＞0}，A＝{x|0＜x≤3}，则∁U A＝{x|x＞3}.题型一交集与并集的运算例6：若集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|0＜x＜3}，求M∩N，M∪N.题型二集合交、并、补的综合运算例7:已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,5}，∁U B＝{4,5,6}，则集合A∩B＝() A．{1,2}B．{5}C．{1,2,3} D．{3,4,6}题型三补集的运算例8：设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁U A、∁U B.题型一利用集合之间的关系字母参数的取值范围例9：设A＝{x|4x＋p＜0}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，若A⊆B，求p的取值范围．题型二集合交、并、补的综合运算例10：设U＝{1,2,3,4,5}，A，B为U的子集，若A∩B＝{2}，(∁U A)∩B＝{4}，(∁U A)∩(∁B)＝{1,5}，则下列结论正确的是()UA．3∉A,3∉B B．3∉A,3∈B C．3∈A,3∉B D．3∈A,3∈B题型三分类讨论解集合问题例11：已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．例12：已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．延伸探究1：本例中的B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？延伸探究2：本例中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？练习：1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则()2．下列五个关系式：①{0}＝∅；②∅＝0；③{0}⊇∅；④0∈∅；⑤∅≠{0}，其中正确的个数() A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；(3)方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；(4)集合{x|4＜x＜5}是有限集．正确的是()A．只有(1)和(4) B．只有(2)和(3)C．只有(2) D．以上语句都不对4．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}5．设方程x2－px－q＝0的解集为A，方程x2＋qx－p＝0的解集为B，若A∩B＝{1}，则p ＋q＝()A．2B．0C．1D．－16．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝() A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}7．设集合P＝{3,4,5}，Q＝{4,5,6,7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为()A．3个B．4个C．7个D．12个8．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a≤x≤a＋3}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}, 若A∩B＝{－3}，求实数a 的值．10．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．(1)求A∪B；(2)求(∁R A)∩B；(3)若A∩C＝A，求a的取值范围．复数1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔(a ，b ，c ，d ∈R)． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔(a ，b ，c ，d ∈R)． (4)复数的模：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝_________. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R).3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝； ④除法：___________))(())((21=-+-+=++=di c di c di c bi a di c bi a z z (c ＋d i≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝，(z 1＋z 2)＋z 3＝．题型一 复数的有关概念例1.(2017·皖南八校联考)i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则lg(a ＋b )的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．12例2．(2016·河南六市一联)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i的模等于( )A ．2B ．11C ． 3D ． 6强化训练：1.(易错题)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( ) A ．10 B ．2C ． 2D ．12.已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________．题型二 复数的几何意义例 3.(2016·河南八市重点高中质检)复数z ＝3＋i1＋i ＋3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限强化训练1.(2017·河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z ＝2i 1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1－iD ．－1＋i2.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．题型三 复数的代数运算 例4．(2016·北京高考)复数1＋2i2－i＝ ( ) A ．i B ．1＋iC ．－i D ．1－i 强化训练：1.(2017·重庆第一次适应性测试)已知(1－i)z ＝2＋i ，则z 的共轭复数z ＝( ) A ．12＋32iB ．12－32iC ．32＋12iD ．32－12i2.已知复数z ＝3＋i 1－3i2，z －是z 的共轭复数，则z ·z ＝____．3.已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________．复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ， i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *．作业:1．i 是虚数单位，复数1－3i1－i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i2．(2017·郑州检测)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z －z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．03．(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z |z |＝( ) A ．1 B ．－1C ．45＋35iD ．45－35i4．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________．5．(2015·重庆高考)设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________．6．若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝( ) A ． 3 B ． 5 C ． 6 D ．77．已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( ) A ． 2 B ．2 C ． 5 D ．58．(2016·福州二检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．010．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2211．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________．12．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________．13．已知a ∈R ，若1＋a i2－i 为实数，则a ＝________．14．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．15．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2．B 组1．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－342．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则z 1·z 2＝________．3．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．流程框图1．算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构及相应语句考点一 算法的三种基本结构程序框图的3个常用变量(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1． (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i ． (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i ．[提醒] 处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．例1．(2016·北京高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4巩固练习：1．定义运算a ⊗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－12．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝() A．7B．12C．17D．343.(2016·河南省六市第一次联考)如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是()A．k>3?B．k>4?C．k>5?D．k>6?考点二算法的交汇性问题[锁定考向]算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是高考的一大亮点．常见的命题角度有：(1)与概率、统计的交汇问题；(2)与函数的交汇问题；(3)与不等式的交汇问题；(4)与数列求和的交汇问题．例2．(2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1)，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A 1，A 2，A 3，A 4．如图(2)是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S ＝18，则判断框内应填________．图(1) 图(2)角度二：与函数的交汇问题例3．(2017·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A ．－32 B ．0C ．32D ．3363 角度三：与不等式的交汇问题例4．(2016·全国乙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足()例5．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n ＋1＋2n )的值B ．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n )的值C ．计算(1＋2＋3＋…＋n )＋(20＋21＋22＋…＋2n －1)的值 D ．计算[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n )的值巩固练习：1．(2017·南昌模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为( )A ．34B ．58C ．78D ．122．(2016·长春市质检)运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A ．29－129B ．29＋129C ．210－1210D ．210210＋13．执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________．作业：1．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]2．(2016·沈阳市教学质量监测)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，b＝－2，则输出的a的值为()A.16B.8C.4D.23．(2017·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是()A．20B．21C．22D．234．(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9B．18C．20D．355．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为()A．514B．914C．59D．496．(2017·长春模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的n＝7，则输入的整数K的最大值是()A．18 B．50 C．78 D．3067．(2016·福建省毕业班质量检测)执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是()A．1B．2C．8 D．98．执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出S的值为()A．15 B．6C．－10 D．－219．(2017·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝()A．4 B．5C．2 D．3命题与简易逻辑考点1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．考点2四种命题及其关系考点3充分条件、必要条件与充要条件的概念考点4全称量词和存在量词1．全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．考点5含有一个量词的命题的否定[必会结论]1.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．4．命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真5．“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．6．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”．所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．考向1四种命题及其相互关系例1[2017·郑州模考]给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)【触类旁通】命题相互关系和真假判断的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)命题真假的判断方法：①联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．②利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考向2 充分必要条件的判定命题角度1 定义法判断充分、必要条件例2 [2016·四川高考]设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件命题角度2 集合法判断充分、必要条件例3 [2017·沈阳模拟]“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件命题角度3 等价转化法判断充分、必要条件例4 给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【触类旁通】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．考向3 充分必要条件的应用例5 已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 B.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－43，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，43利用充要条件确定有关参数的取值范围利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q 且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q . 考向4 含有逻辑联结词的命题的真假例6 [2017·大连模拟]若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题【触类旁通】“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假． 考向5 全称命题、特称命题命题角度1 全称命题、特称命题的否定例7 命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20命题角度2 全称命题、特称命题真假的判断例8 下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2全(特)称命题问题的常见类型及解题策略(1)全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每个元素x验证p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．(2)全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．考向6利用复合命题的真假求参数范围例9[2016·东城月考]已知命题P：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．若P∨Q是假命题，求实数a的取值范围．延伸探究1 在本例条件下，若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．延伸探究2 在本例条件下，若P∧Q为真命题，求实数a的取值范围．延伸探究3 在本例条件下，若P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．延伸探究4 在本例条件下，若P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．【触类旁通】根据命题的真假性求参数的方法步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题p，q的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．题型技法系列1——充分必要条件的探求1. [2017·广东六校联考]“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1答题启示 注意区分以下两种不同的说法(1)A 是B 的充分不必要条件，是指A ⇒B 但B ⇒/ A ； (2)A 的充分不必要条件是B ，是指B ⇒A 但A ⇒/ B .以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断.2. 下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3题型技法系列2——利用逻辑推理解决实际问题1. [2016·全国卷Ⅱ]有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：我与乙的卡片上相同的数字不是2，乙看了丙的卡片后说：我与丙的卡片上相同的数字不是1，丙说：我的卡片上的数字之和不是5，则甲的卡片上的数字是________．2. [2014·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．作业：1．[2017·安徽模拟]“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”3．[2015·天津高考]设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 25．[2017·株洲模拟]设a ，b ∈R ，那么“e ab >e ”是“a >b >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．[2017·太原模拟]下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x >0 B ．∀x ∈R ，x 2≥0 C ．∃x 0∈R ，sin x 0＝2 D ．∃x 0∈R,2x 0>x 207．[2015·湖北高考]命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －18．[2017·桂林模拟]若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)9．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．10．[2017·太原十校联考]已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．11．[2015·山东高考]若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．12．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．13．[2017·贵阳模拟]下列不等式： ①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________．14．若“x 2－2x －8>0”是“x <m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为________．15．设命题p ：函数f (x )＝lg (ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．16．[2017·苏州模拟]已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若p 是綈q 的充分条件，求实数m 的取值范围．推理与证明1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由______到整体、由______到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：类比推理是由______到______的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的_________；②小前提——所研究的__________；③结论——根据一般原理，对__________做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从__________出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． ②框图表示：Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q 表示要证明的结论)． ③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明__________的证明方法．5．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取______________(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当____________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立 考点一 归纳推理【例1】 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为_________________________________________________．【例2】已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.【例3】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.【例4】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段；(2)n 级分形图中所有线段长度之和为________．【规律方法】归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．考点二 类比推理【例5】(2015·南昌模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b(a>b)．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n.用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n【规律方法】类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．考点三：演绎推理【例6】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .【规律方法】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．。