专题三、用椭圆中的对称性解题
一、知识点
椭圆是关于_____________________________________________对称.
二、例题讲解 例题1.方程|x|
2+|y|3
=1所表示的图形的面积
变式1：画出方程|x|
2−|y|3
=1表示的图形
例题2.如图所示，已知椭圆的方程为
+
=1（a ＞b ＞0），A 为椭圆的左顶点，B 、C 在
椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆的离心率等于_________.
变式1.(2016.10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦
点，直线2
b
y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心是 ．
例题3.（1）过原点的直线与椭圆2
214
x y += 交于,A B 两点，F 是椭圆的右焦点，则ABF ∆面积的最大值为_____________.
（2）过原点的直线与椭圆2
214
x y += 交于,A B 两点，F 是椭圆的右焦点，则ABF ∆周长的最小值为_____________.
变式1：已知椭圆的C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F ，椭圆与过原点的直线相交于A,B 两点，
连接AF,BF,若AB=10,BF=8,4
cos 5
ABF ∠= ,求椭圆的离心率.
变式2：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x
－4y ＝0交椭圆C 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离
心率的取值范围是__________.
例题4.（利用对称性巧解面积问题）
已知椭圆x 2
8+y2
2
=1（2）矩形ABCD的四个顶点均在椭圆上，求矩形ABCD面积的最大值
变式：已知椭圆.x 2
100+y2
25
=1，C，D在椭圆上，直线CD过坐标原点O，且在线段AB的右下
侧,求四边形ABCD的面积的最大值．例题5.利用椭圆的对称性猜出定点
例题5.已知椭圆x 2
2
+y2=1的上顶点是A点，过点A作互相垂直的两条直线，交椭圆于M，N两点，证明直线MN必过定点.
变式：已知椭圆x 2
2
+y2=1的右焦点是F点，过点F作互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N两点，：证明：直线必过定点，并求出此定点.
三、高考题
1.(2008 12).在平面直角坐标系中，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，以O 为圆心，
a 为半径的圆，过点2
(
,0)a c
作圆的两切线互相垂直，则离心率e =
.
3.(2012.19).如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为
1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；
（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i ）若126
2
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值
习题
1.F 1和F 2分别是双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且∆F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为__________.
A
B P
O
x
y （第19题）。