A( a m 1 a m 2 a 0 ) p .【例题分析】位数•于是所求的三位数只有 512.3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。

如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。

解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为x,y,z ，则32原数 10 x 10 y 10z y①;QO颠倒后的新数103y 102z 10y x ②、整数的进位制1、【十进制数】给定一个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。

, A 可以表示成 m 2a m 2 10A a m 1 a m可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 10 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称a 1 p a ，其中 p 进制数，记为解: 由于 100 abc 999，则100 (a b3c) 999，从而 5 a bc ! 9 ；当a b c 5时， 53125 (1 2 5)3; 3当a b c 6时，6216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3;3当a b c 8时，8512 (5 12)3;当ab c 9时， 93 729 (7 2 9)3;b c ）3的所有三位数1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（）A 4000B 4004C 4008 40102.求满足abc (a abc 。

由②—①得7812 = 999(y x) 90(z y)2即868 111(y x) 10(z y) 10 (y x) 10(z x) (y x) ③比较③式两端百位、十位、个位数字得y x 8,z x 6.由于原四位数的千位数字x不能为0,所以x 1，从而y x 8 9，又显然百位数字y 9 ,所以y 9,x 1,z x 6 7，所以所求的原四位数为1979.二、整除的概念及其性质(一)、基本概念1、定义：设a,b是给定的整数，b 0，若存在整数c，使得a be,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(或因数)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述e，则称b不能整除a，记作a.2、整除的性质(1)若b | e且e | a，则b | a (传递性)；⑵若b |a且b | e，则b | (a e)；若反复运用这一性质，易知 b |a及b|e，则对于任意的整数u,v有b | (au ev);n更一般，若a |b i，则a | C i b 其中e Z, i 1,2 ,L , n；i 1⑶若b | a，则或者a 0，或者| a | | b |;特别地，若b | a且a | b，则a b ；(4)(带余除法定理)设a,b为整数，b 0，则存在一对整数q和r，使得a bq r，其中0 r b，满足以上条件的整数q和r是唯一确定•整数q称为a被b除得的商，数r称为a被b除得的余数。

注意：r共有b种可能的取值：0,1,……,b 1 ；若r 0，即为a被b整除的情形；(5)若n是正整数，则x n y n (x y)(x n 1 x n 2y xy n 2 y n 1)；n m(6) 如果在等式 a b k中去掉某一项外，其余项均为e的倍数，则去掉项也是e的倍数；i 1 k 1(7) m (m >2且m Z )个连续整数中，有且只有一个是m的倍数；(8) 任何n (n >2且n Z )个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续正整数之积能被6整除;(9 )若一个整数的未位数字能被 2 (或5)整除，则这个数能被 2 (或5)整除，否则不能；(10 ) 一个整数的数码之和能被 3 (或9)整除，则这个数能被 3 (或9)整除，否则不能；(11 )若一个整数的未两位数字能被 4 (或25 )整除，则这个数能被 4 (或25 )整除，否则不能；(12 )若一个整数的未三位数字能被8 (或125 )整除，则这个数能被8 (或125 )整除，否则不能；(13 )若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。

(14 ［① 质数：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质数或素数；② 合数：如果一个正整数包含有大于1且小于其本身的因子，则称这个正整数为合数。

(二)、奇数、偶数的性质(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数，奇数奇数=奇数；任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数•(2)奇数的平方都可以表示成8m 1的形式，偶数的平方可以表示为8m或8m 4的形式，其中m Z；(3 )任何一个正整数n，都可以写成n 2m l的形式，其中m为负整数，|为偶数。

(4)若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

(三)、完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称为平方数，平方数有以下性质：(1 )平方数的个位数字只可能是0, 1 , 4,5 , 6, 9 ；(2 )偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1 ；(3)奇数平方的十位数字是偶数；(4 )十位数字是奇数的平方数的个位数一定是 6 ；(5 )不能被3整除的数的平方被 3除余1，能被3整除的数的平方能被 3整除。

因而，平方数被 9除的 余数为0,1 , 4,7，且此平方数的各位数字的和被 9除的余数也只能是 0,1 , 4,7 ;(6) 平方数的正约数的个数为奇数个； (7)任何四个连续整数的乘积加 1，必定是一个平方数。

(四) 、格点：数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点【例题分析】5、 (2008 )对每一实数对 Ly,函数 f(i )w JEr (x + y )-f(x) +f(y>+xy + l f 若 1(-2〉--2,试求 满足f(a)=a 的所有整数雲1、(2005 年 11 )若 2629 2n 为一个平方数，则正整数n22、(2009 )多项式 3x +3X-194 2223x+2 =a 0+a 1x+a 2x +L +a 22x ，贝U a+a 3+a 5+L +a 21 =3、(2007 )设数列 a n 满足：a 1=1, %1=5a n J24%2 1, n N ，求证： a 的各项都是正整数解(j -5 J =24a ： +14=l(n =2,3,…) 所以己】-10+ai = l(n-2,3,*»)(2)由(i) J2)得％釧足方程f -=1的抿+(V 】=10a,(同时由已知可 a n >0} a, = 1 宀=10191*3 = 10*2 - *4 是整数二 10%「％.】(nN2)是整数 所UllaJ 的各项鄒是4、( 2009 )证明：平面直角坐标系 xoy 内存在不在一条直线上的 2009个整点，使得每条直线上至少有3个整点，且任意两点的距离都是整数 证明 闵为(『-h ；)； +(2ab)" = (a :+b J )J设%・K!,h ■普住=2宀町= u/易蜥扎人,人(卜",……n)均为整慝 && A A (2^i < 显然为 SStiW A Q A E = Aj A t (k -2,+-n) 设点扎为⑺!4)小为(亠细肋人为(O,y k )(k =2t ..... ■)下面证唾A.A fc (k =2, ..... n )为整戴札札-Jew 尸■帶尸】2(3尸■ 为整敷显然 a b ，令(a,b) d ，则 a a i d,b bid ， (a^bj 12 2从而a b = (a 1 b 1)d ，将其代入①得2a 1 d a 1 b 1 3b 1 d ②2因为d | 2a 1 d ，所以d | (印bj ，从而d 印 d ；2而②式又可写成G b 1) (2a 1 2b 1 1) b 1d ；因为(a,b) d 且(a 1, b 1) 1，所以(a 1 b 1,b 1) 1 (a 1 b 1) 所以佝bi) | d ，从而a 1 b 1 d 。

所以d a 1 b 1，所以a b =⑻ bjd d 2，从而a b 为完全平方数。

三、同余的定义及其性质【定义1】.设m 是正整数，若用 m 去除整数a,b ，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作a b(modm)，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作 a*b(modm).例如：344(mod15), 1000 1(mod 7) , 9^8(mod2)等等。

当0 b m 时，a b(mod m)，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。

对于固定的模m ，通常有下面的性质： 性质1. a b(mod m)的充要条件是a mt b,t Z 也即m|(a b)。

性质2.同余关系满足以下规律： (1)(反身性) a a(mod m);(2)(对称性)若 a b(mod m)，则 b a(mod m)；(3) (传递性)若 a b(mod m), b c(mod m)，贝U a c(mod m);解：令 X = y =0,得 ffo) H - 1^x=y = f(祥 2} = f( -1)=-2^x = l T y= -1,得f(!)"^x = l t i» f(y + l) =f(y) +y+2 ①.-,f(y + l}-f(y)»y+2f(n + 】)一f(n)；sn+2即 f(2) -f(l) =1 +2,f(3)"⑵=2 + 2 f(n +1) -f(u) =n-»-2相加得 f(n)=~n 3+yn-lf(n)=叫解得n = l 或n = -26 .证明：若正整数 a, b 满足2a 2 a 3b 2b ，则a b 和2a 2b 1都是完全平方数。

2 2证：已知2a a 3b b2 2 22(a b ) (a b) b2(a b ) ( 2a 2b 1 )= b ①所以2a 2b 1b 2弓)2也是完全平方数。