例3、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？
例4、在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
．
例5、一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
三、中国剩余定理
1.中国古代趣题
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算 得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
一、带余除法的定义和性质
例1、两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
例5、设 的各位数字之和为 ， 的各位数字之和为 ， 的各位数字之和为 ， 的各位数字之和为 ，那么 ？
四、中国剩余定理
例1、一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．
例2、一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？
5、 的末三位数是多少？
6、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
课后反击
1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
，其中k是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例2、 被 除所得的余数是多少？
例3、 除以41的余数是多少？
例4、求所有的质数P，使得 与 也是质数．
例5、甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数 除甲数所得余数是 除乙数所得余数的2倍， 除乙数所得余数是 除丙数所得余数的2倍．求 等于多少？
三、余数综合应用
例1、设 是质数，证明： ， ，…， 被 除所得的余数各不相同．
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
2、求 的最后两位数．
3、试求不大于100，且使 能被11整除的所有自然数n的和．
4、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以9的余数．
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由 ，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数 是否可以，很显然70除以3余1
例2、从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？
例3、已知n是正整数，规定 ，令 ，则整数m除以2008的余数为多少
例4、有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。
学科教师辅导讲义
学员编号：
年级：六年级
课时数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
学科教师：
授课主题
第27讲——同余法解题
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、带余除法的定义及性质
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当 时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当 时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
2.核心思想和方法
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:
例2、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
例3、一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．
二、三大余数定理的应用
例1、一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？