福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}310A x x x =-+<,{}10B x x =->,则A B ⋃=( ) A .()1,3 B .()1,-+∞ C .()1,+∞ D .()(),11,-∞-⋃+∞2.若复数1ai+,则实数a =( )A .1B .1-C .1± D.3.下列函数为偶函数的是( )A .tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B .2xy x e =+ C .cos y x x = D .ln sin y x x =-4.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则cos2x =( )A .89-B .79-C .79D .725-5.已知圆锥的高为3体积等于( )A .83πB .323π C .16π D .32π6.已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则函数()3y f x x =+的零点个数是( )A .0B .1C .2D .37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”,图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,例如()10,31Mod =.执行该程序框图,则输出的i 等于( )A .23B .38C .44D .588.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A .14B .1042+C .21422+21342++ 9.已知圆()221:582C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,抛物线()2:20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ,若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切,则E 的标准方程为( )A .12x =-B .1y =-C .12y =- D .1x =-10.不等式组1,22x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D .有下列四个命题:()1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ∃∈-≥()32:,,23p x y D x y ∀∈-≥()4:,,22p x y D x y ∃∈-≤- 其中真命题的是( )A .23,p pB .14,p pC .12,p pD .13,p p11.已知双曲线()2222:10,0a x y E a bb >->=的左、右焦点分别为12,F F ,点,M N 在E 上,12122//,5MN F F MN F F =,线段2F M 交E 于点Q ,且2F Q QM =u u u u r u u u u r ,则E 的离心率为( ) A .5 B .15 C .23 D .1012.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,121n n a a n ++=+,且1350n S =.若22a <,则n 的最大值为( ) A .51 B .52 C .53 D .54第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知单位向量,a b r r 满足()22a a b ⋅-=r r r,则,a b r r 的夹角为 .14.设n 为正整数,32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 .15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度,得到函数2sin cos y x x =-的图象,则sin ϕ的值为 .16.如图,已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ,O 为半圆的圆心,85MN =.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上,则裁出三角形面积的最大值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{}n a 中,()*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. (1)证明:数列{}n b 是等比数列; (2)设()2412nn nb c n =-,求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.已知菱形ABCD 的边长为2,60DAB ∠=︒.E 是边BC 上一点,线段DE 交AC 于点F . (1)若CDE ∆3,求DE 的长;(2)若74CF DF =,求sin DFC ∠.19.如图,在四棱锥E ABCD -中,//,90,224AB CD ABC CD AB CE ∠=︒===,120,25BCE DE ∠=︒=.(1)证明:平面BCE ⊥平面CDE ;(2)若4BC =,求二面角E AD B --的余弦值.20.已知F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点,M 为C 上的任意一点.(1)求MF 的取值范围;(2),P N 是C 上异于M 的两点,若直线PM 与直线PN 的斜率之积为34-,证明:,M N 两点的横坐标之和为常数.21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. (1)讨论函数()f x 的单调性; (2)若0a =且()0,1x ∈,求证:()211xf x x e x+-<. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,0t >).在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线:cos 24l πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)若l 与曲线C 没有公共点,求t 的取值范围; (2)若曲线C 上存在点到l 1622t 的值. 23.选修4-5:不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.(1)求不等式()()31f x f x≤--的解集;(2)已知关于x的不等式()()1f x f x x a≤+--的解集为M,若31,2M⎛⎫⊆⎪⎝⎭,求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12:BA二、填空题13. 120︒ 14. 112 15.45三、解答题17.解:(1)证明:因为()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈,1n n n b a a +=-, 所以()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()1122n n n na a a a ++-=-, 又因为121211b a a =-=-=,所以数列{}n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11122n n n b --=⨯=, 因为()2412nn nb c n =-,所以()2412nn nb c n=-()()11112212142121n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭,所以12111111143352121n n S c c c n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭L L111421n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭42nn =+. 18.解:解法一:(1)依题意,得60BCD DAB ∠=∠=︒, 因为CDE ∆的面积S ,所以1sin 2CD CE BCD ⋅⋅∠=所以12sin 602CE ⨯⋅︒,解得1CE =,根据余弦定理,得DE ==. (2)依题意,得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,,设CDE θ∠=,则060θ︒<<︒,在CDE ∆中,由正弦定理得sin sin CF DFACDθ=∠,4DF =,所以sin 2CF DF θ==,所以cos θ=所以()1sin sin 302DFC θ∠=︒+=+=解法二:(1)同解法一.(2)依题意,得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,,设CDE θ∠=,则060θ︒<<︒, 在CDF ∆中,设4CF x =4DF =,则DF =, 由余弦定理,得2222DF CD CF CD CFcos ACD =+-⋅∠,得227416x x =+-,解得x =x =又因为12CF AC ≤=x ≤,所以x =所以DF =在CDF ∆中,由正弦定理,得sin sin CD DFCFD ACD=∠∠,得sin CFD ∠==. 19.解:(1)证明:因为//,90AB CD ABC ∠=︒, 所以CD BC ⊥.因为42,CD CE DE ===,222 C D CE DE +=, 所以CD CE ⊥, 因为BC CE C ⋂=, 所以CD ⊥平面BCE . 因为CD ⊂平面CDE , 所以平面BCE ⊥平面CDE .(2)由(1)知,CD ⊥平面BCE ,故以点C 为坐标原点,分别以CB CD u u u r u u u r、的方向为x 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.所以()()()()4,0,2,400,3,0,0,0,4A B E D -,,, 所以()()4,0,2,3,2AD AE =-=--u u u r u u u r,设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =r,则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r, 所以4205320x z x z -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,取1x =,则()1,33,2n =r,又因为平面ABD 的一个法向量为()0,1,0m =u r,所以()23336cos ,11334n m =⨯++r u r, 所以二面角E AD B --3620.解:解法一:(1)依题意得2,3a b ==,所221c a b =-=, 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0, 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y , 则22143M M x y +=,所以()()2222231134M M M M MF x y x x =-+=-+-()221124444M M M x x x =-+=-, 又因为22M x -≤≤,所以219MF ≤≤, 所以13MF ≤≤,所以MF 的取值范围为[]1,3.(2)设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ,设直线PM PN 、斜率分别为12k k 、,则直线PM 方程为()1P P y y k x x -=-, 由方程组()2211,43P P x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩消去y ,得 ()()2222211111348484120P P P P P P k xk k x y x k x k x y y +--+-+-=,由根与系数关系可得()1121834P P M P k k x y x x k -+=+,故()21111221184833434P P P P PM P k k x y k x k y x x x k k ---=-=++,同理可得()2222834P P N P k k x y x x k -+=+,又1234k k ⋅=-,故()22112221338844343344P P P P N P x y k k x y k k x x k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭+===+⎛⎫+- ⎪⎝⎭1216843P P x k y k ++, 则1216843P PN P x k y x x k +=-+2112148334P P P M k x k y x x k --=-=-+, 从而0N M x x +=.即M N 、两点的横坐标之和为常数.解法二:(1)依题意得2,a b ==1c =,所以C 的右焦点F 坐标为()1,0, 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y , 设C 上的任意一点M的坐标为()2cos αα, 则())()22222cos 1cos 2MF ααα=-+=-,又因为1cos 1α-≤≤,所以219MF ≤≤, 所以13MF ≤≤,所以MF 的取值范围为[]1,3.(2)设P M 、两点坐标分别为()(),,,P P M M x y x y ,线段PM PN 、的中点分别为E F 、,点E 的坐标为(),E E x y ,直线PM PN OE 、、的斜率分别为123k k k 、、,由方程组22221,431,43P P M M x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222234P M P M y y x x -=--, 所以34P M P M P M P M y y y y x x x x -+⋅=--+,所以2324P M E P M E y y y x x x -⋅=--,所以1334k k ⋅=-,又因为1234k k ⋅=-,所以23k k =, 所以//PN OE ,所以MN 的中点在OE 上, 同理可证:MN 的中点在OF 上, 所以点O 为线段MN 的中点. 根据椭圆的对称性,所以M N 、两点的横坐标之和为常数.21.解:解法一:(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞,()()()2222111212ax ax a x ax f x a x a x x x+---'=-+-==, ①若0a =时,则()0f x '<,()f x 在()0,+∞上单调递减; ②若0a >时,当1x a =时,()0f x '=; 当1x a <时,()0f x '<; 当 1x a>时,()0f x '>. 故在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()f x 单调递减;在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上,()f x 单调递増; ③若0a <时,当12x a =-时,()0f x '=; 当12x a <-时,()0f x '<;当12x a>-时,()0f x '>. 故在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上,()f x 单调递减;在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上,()f x 单调递増. (2)若0a =且()0,1x ∈,欲证()211x f x x e x+-<, 只需证21ln 11x x x e x -+-<, 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈,则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时,()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以() 1(1)g x g <=. 设函数()31()x h x x x e =+-,则()23()23x h x x x x e '=+--. 设函数233()2p x x x x =+--,则()2163p x x x '=--.当()0,1x ∈时,()()0180p p ''⋅=-<,故存在()00,1x ∈,使得()00p x '=,从而函数()p x 在()00,x 上单调递增;在()0,1x 上单调递减. 当()00,x x ∈时,()()002p x p >=,当()0,1x x ∈时,()()0140p x p <-<⋅故存在()10,1x ∈,使得()10h x '=,即当()10,x x ∈时,()0p x >,当()1,1x x ∈时,()0p x < 从而函数()h x 在()10,x 上单调递增;在()1,1x 上单调递减. 因为()()01,1h h e ==,故当()0,1x ∈时,()()01h x h >=所以()()()31ln 1,0,1x x x x x e x -<+-∈,即()()211,0,1x f x x x e x +-<∈. 解法二:(1)同解法一.(2)若0a =且()0,1x ∈,欲证()211x f x x e x+-<, 只需证21ln 11x x x e x -+-<, 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈,则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时,()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增.所以() 1(1)g x g <=. 设函数()()()31,0,1x h x x x e x =+-∈,因为()0,1x ∈,所以3x x >,所以311x x +->,又1x e e <<,所以()1h x >,所以()()1h g x x <<,即原不等式成立. 解法三:(1)同解法一.(2)若0a =且()0,1x ∈,欲证()211x f x x e x+-<,只需证21ln 11x x x e x-+-<, 由于01ln 0,1x x e e ->>=,则只需证明211ln 1x x x -+-<, 只需证明2 01ln x x x -+>,令()()()2 0,1ln 1g x x x xx =-+∈, 则()32221112120x x x g x x x x x x---'=--=<<, 则函数()g x 在()0,1上单调递减,则()()10g x g >=, 所以201ln x x x-+>成立, 即原不等式成立.22.解:(1)因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=, 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=;因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩(α参数,0t >) 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=, 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得,()2221440t y y t +-+-=, 所以()()22016414t t ∆-+-<=,解得 0t < 故t的取值范围为(.(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=, 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =, 故d=解得t =又因为0t >,所以t =23.解:(1)因为()()31f x f x ≤--,所以132x x -≤--, 123x x ⇔-+-≤,1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤,所以03x ≤≤, 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.(2)因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭, 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()1f x f x x a ≤+--恒成立, 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--, 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1x a -≤,即11x a x -≤≤+, 由题意,知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 所以122a ≤≤,故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。