绝密★启用前初中数学几何压轴题组卷试卷副标题考试范围：xxx ;考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分得分注意事项：1 •答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 •请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人 得分•选择题（共3小题）1.如图，在凸四边形 ABCD 中，AB 的长为2, P 是边AB 的中点，若/ DAB=/ ABC 玄PDC=90,则四边形ABCD 的面积的最小值是2. 北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中（如图） 对获胜者的礼赞，也形象地诠释了中华民族自古以来以观.若白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为 k ,则下列各数与k 最接近C.D . 2+2 :■: ,这一设计不仅是 玉”比德”的价的是（）金金白圭A.丄B.二C.二3 2 33. 在等边厶ABC所在平面上的直线m满足的条件是：等边△点到直线m的距离只取2个值，其中一个值是另一个值的直线m的条数是（）A. 16B. 18C. 24ABC的3个顶2倍，这样的D. 27第U卷（非选择题）请点击修改第n卷的文字说明评卷人得分二•填空题（共6小题）4. 5个正方形如图摆放在同一直线上，线段BQ经过点E、H、”，记厶RCE△ GEH △ MHN、A PNQ 的面积分别为Si, S2, S3, 9,已知S i+S=17, 贝U S b+Si= _____ .3DF 7 05. 设A o, A i,…，A n-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形A3A4A5A6、七边形A n -2A n- 1A0A1A2A3A4等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是_________ ，此时正n边形的面积是_______ .6. 已知Rt A ABC和Rt A A C'电,AC=A , D=1/ B=Z D=90°° / C+Z C =60BC=2则这两个三角形的面积和为________ .7. 设a, b, c为锐角△ ABC的三边长，为h a, h b, h c对应边上的高，贝UU=_ ] r的取值范围是_____________ .a+b+c8. 如图已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O,若&AOB=4,&COC=9,则四边形ABCD的面积的最小值为______ .9. 四边形ABCD的四边长为AB=、，BC=「「- • | , CD= J-」—「DA= 「，一条对角线BD=L 厂，其中m, n为常数，且0v mv 7, 0v n v 5,那么四边形的面积为__________ .评卷人得分三•解答题(共2小题)10. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.(1) ______________ 三角形有 _________________________ 条面积等分线，平行四边形有_______ 条面积等分线;(2) 如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；(3) 如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB^ CD,且S MBC V S MCD,过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由.11 •如图1,点P是厶ABD中AD边上一点，当P为AD中点时，则有S AABP二S△ ABD,如图2,在四边形ABCD中, P是AD边上任意一点，探究：(1)当AP二AD时，如图3,A PBC与△ ABC和厶DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；(2)当AP—AD时，探究S A PBC与S ABC和S A DBC之间的关系，写出求解过程；(3)一般地，当AP—AD (n表示正整数)时，探究S APBC与S A ABC和S DBCn之间的关系，写出求解过程；(4)当AP=-AD (0 1)时，直接写出S A PBC与S A ABC和S A DBC之间的关系. 图1團2初中数学几何压轴题组卷参考答案与试题解析•选择题（共3小题）1如图，在凸四边形 ABCD 中，AB 的长为2，P 是边AB 的中点，若/ DAB=/ ABC 玄PDC=90,则四边形ABCD 的面积的最小值是（）【分析】设梯形上底为x ,下底为y ,则根据已知条件列出关于x , y 的方程 后即可用配方法解出答案.【解答】解：设梯形上底为x ,下底为y ， ••• AB=2, P 是边 AB 的中点，/ PDC=90, 1+y 2 -( 1+x 2) =4+ (y - x ) 2,2.北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中（如图），这一设计不仅是 对获胜者的礼赞，也形象地诠释了中华民族自古以来以玉”比德”的价值观.若白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为 k ,则下列各数与k 最接近 的是（）D .2+2 :梯形ABCD 面积X(x+y ) X 2，梯形ABCD 面积取得最小值为 4.【分析】根据北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中，设计师将白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为：丄得出答案即可.2【解答】解：奖牌正面采用国际奥委会规定的图案，背面镶嵌着取自中国古代龙纹玉璧造型的玉璧，背面正中的金属图形上镌刻着北京奥运会会徽，是中华文明与奥林匹克精神在北京奥运会形象景观工程中的又一次中西合璧”，白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为：寺•故选：B.3 •在等边厶ABC所在平面上的直线m满足的条件是：等边△ ABC的3个顶点到直线m的距离只取2个值，其中一个值是另一个值的2倍，这样的直线m 的条数是（）A. 16B. 18C. 24D. 27【分析】根据已知可以分成两类.第一类：过一边的中点，其中过AB边中点M的直线，即可得出满足条件的条数，进而得出过3条边中点的直线条数，第二类：与一边平行，这样的直线也有12条，即可得出答案.【解答】解：可以分成两类第一类：过一边的中点，其中过AB边中点M的直线，满足条件的有4条，那么，这一类共有12条，第二类：与一边平行，这样的直线也有12条，两类合计：12+12=2 4条.故选：C.二•填空题（共6小题）4. 5个正方形如图摆放在同一直线上，线段BQ经过点E、H、”，记厶RCE△ GEH △ MHN、A PNQ 的面积分别为S, S2, S3，已知Si+3=17, 贝U 9+9= 68 .P --------- n【分析】由如图5个正方形摆放在同一直线上，可得tan / EBF=tanZ AEB= =二，/ GHE=Z MNH= / PQN=Z EBF，然后设DR=a,贝U BF 2 EF=BD=CD=CE=2a艮据三角函数的知识，即可得：MH=4a, MN=8a,PN=8a,PQ=16a又由S+S3=17，即可求得a2的值，继而可求得S2+S4的值.【解答】解：•••四边形ABDC与四边形CDFE是正方形，••• BD=DF=EF AE// BF,•••/ EBF=/ AEB••• tan / EBF=tan/ AEB.二,BF 2同理可得：/ GHE=Z MNH=/ PQN=/ EBF,设DR=a 贝U EF=BD=CD=CE=2a--CR=a:tan Z EBF』土FI=HI=GH=4a••• GE=2a同理可得：MH=4a, MN=8a, PN=8a PQ=16aS +S3丄x a x 2a+L x 4a x 8a=17,2 2解得：a2=1,.S2+S^—x 2a x 4a+丄x 8a x 16a=68孑=68.2 2故答案为：68.5. 设A o, A i,…，A n-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形AA4A5A6、七边形A n-2A n -1A0A1A2A3A4等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是23 ，此时正n边形的面积是 1 .【分析】先通过找规律找出P与n的关系式P~n2-‘ n+1，再化为P丄（n2 2 2-4）2+吉，由于n》3,故P值越大，n取值越大.在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大，从而得出关于n的方程求解即可.【解答】解：用找规律找出P与n的关系式不难发现，P与n有下表所列的关系n 3 456P 1 3610 (0+1)=(3-3) (2+1) = (4-3) (5+1) = (5-3)(6+3+1) =(6-3)x 3 十2+1 x 4 十2+1x 5 - 2+1x 6 十2+1因此，P=（n-3）加亠2+1，即P h-—n+1.2P丄n2-—n+1可以化为P—（n-色）2+丄,2 22 2 8由于n》3,故P值越大，n取值越大.在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数, 故其面积取最小值1时，P值最大代入各值，得：231 - 1斗n 2-刍n+1.整理得：n2- 3n- 460=0解得n=23或n=- 20 （不合题意，舍去）故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1.故答案为：23, 1.6. 已知 Rt A ABC 和 Rt A A C'电,AC=A , D=1Z B=Z D=90° ° / C+Z C =60 BC=2则这两个三角形的面积和为_.【分析】利用AC=A C E Rt A ABC 和Rt A A C 中的AC 与A 重合可得到如图 所示的四边形ABCD 再延长CD 与BA 交于E ,由Z BCE=60得到Z E=30°, 根据含30°的直角三角形三边的关系得到EB= : ;BC=2，可计算出S A EB 有 X 2X 2 : ;=2 :-;;同样 S A AD 』X 1 X .「；=±2 △ ADE 进行计算.【解答】解：由于AC=A C'所以把Rt A ABC 和Rt A A C 中的AC 与A 重合 可得到如图所示的四边形 ABCD Z B=Z ADC=90,vZ C+Z C =60°•••Z BCD=60,CD 与BA 的延长线交于E 点，如图，在 Rt A EBC 中, BC=2 Z BCE=60,• Z E=30°,• EB= -；BC=2 ：■；,• S EB 严X 2X 2 ：=2一 ：；在 Rt A EAD 中，Z E=30°, AD=1,故答案为：工；.,然后利用S 四边形 ABCL FS X EBC —S 即原来两个三角形的面积和为• AE=2,•- S 四边形 ABCD =S EBC — SADE =7. 设a, b, c为锐角△ ABC的三边长，为h a, h b, h c对应边上的高，则的取值范围是沁-.【分析】先根据题意画出图形，则有h a+BD>c, h a+DC>b, 2h a+a>b+c,同理，2h b+b >c+a, 2h c+c>a+b, 2 (h a+h b+h c)>( a+b+c),又h a V b, h b v c,h c V a, h a+h b+h c V a+b+c,继而即可求出答案.【解答】解：如下图所示：：h a+BD>c, h a+DC>b,二2h a+a> b+c,同理，2h b+b>c+a, 2h c+c>a+b,••• 2 (h a+h b+h c)>( a+b+c),又h a V b, h b V c, h c V a,•- h a+h b+h c V a+b+c• U v 1U v 1.故答案为:U v 1, B D C8. 如图已知四边形 ABCD 的对角线AC 与BD 相交于0,若 压AOB =4, S X OC =9,则四边形ABCD 的面积的最小值为 25【分析】先根据正弦定理及三角形的面积公式表示出厶 A0B 及\ C0D 的面积, 再求出四边形ABCD 面积的表达式，根据均值公式即可得出其最小值.••• S \AOD =S\BOC =6 时,•••四边形ABCD 的面积最小值为25.9.四边形 ABCD 的四边长为 AB= ■ , BC=,「「- • | , CD=厂• , ■',DA^ I- .，一条对角线其中m , n 为常数，且O v m v 7, O v n v 5；那么四边形的面积为一(mn - 5m - 4n+62).【解答】解：由题得：T S MO―二 =4,s COL 「丄亠 一「—1=9,2 OAXOBX s l =4bCX0BX S mZ2=9, =4X 9=36,即: 丄’丄 W ———^--=36,•- S 四边形ABCD =S\AOB +S A COD +S\AOD +S ^BOC2=13+ L 「丄丄一1》13+2XODXsinZl 2 '111 「八::=13+2. T.=13+2X 6=25, OAXOEX sinZl. 0(?XQBX s inZ2 2 22当且仅时取等号.故答案为：25.【分析】作矩形A B' C 并且A B'，7 C ;点A 在A 上，AA =,点B 在 B' 上, BB =5 D 在 A 上, A D=n C 在 D ' Ct, D C=m 作 DE 丄B' C于 E 点，则 AB=J1乂.■ ■ , BC=「「j , CD= ] + .卜 DA = | ' r ,BD=宀.i ■',根据四边形 ABCD 的面积=S 矩形 A B ，C —D S\A ACT S ^ABB - S C CB -S AD DC 利用矩形和三角形的面积公式即可计算出所求四边形的面积.【解答】解：作矩形A ' B ' C'并且A B ' ,B ' C ;点A 在A ' 上, AA =4 点 B 在 B ' 上, BB =5D 在 A 上, A D=n C 在 D 上, D C=m 如图， 过D 作DE 丄B '于E 点，••• AB=；「=.「1, BC=L 「.，CD = 1 1 :，, DA =「-「， BD = J 」',•••四边形 ABCD 的面积=S 矩形 A B ，C —D S A A A — S A ABB - S A C C - S A三.解答题(共2小题)10. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直 线称为这个平面图形的一条面积等分线.(1 )三角形有 无数 条面积等分线，平行四边形有无数 条面积等分线；(2) 如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面 积等分线；(3) 如图②，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AB ^ CD,且&ABC V S AACD ,D' D =7X 6 - —X 4X n -丄 2 2 X 3X 5-二X 1X( 7- m ) X m X( 6 - n )(mn — 5m - 4n+62).过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由.【分析】(1)读懂面积等分线的定义，得出三角形的面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线；(2) 由(1)知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；(3) 能•过点B作BE// AC交DC的延长线于点E,连接AE•根据△ ABC和△ AEC的公共边AC上的高也相等”推知S A ABC=S X AEG然后由割补法”可以求得S 四边形ABCC F S^ACD+S A ABC=S L ACD+S A AEC F S L AED.【解答】解：(1)在厶ABC中，做BC的中线AD,在这BC上任意取一点E, 并将其与顶点A相连，过中点D做它的平行线，交AC与点F,连接EF，即是△ ABC的面积等分线.因为连接EF,设EF与AD交于点0,作中线后，△ ABD与厶ACD的面积相等，即S四边形ABEO+Sx EOD F S AFO+S四边形FODC 作平行线后，连接EF,设EF与AD交于点0,则厶A0F与厶E0D面积相等，那么S四+S x AFO FS X EOD+S四边形FODG 即S四边形ABE FS X EFC 因此直线丘卩将厶ABC 边形ABE0分成了面积相等的两部分，是三角形的面积等分线.因此，按这样的做法，可以作无数条三角形的面积等分线；对于平行四边形应该有无数条，只要过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；(2)如图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2 个相等的部分.即00为这个图形的一条面积等分线；(3)如图②所示•能，过点B作BE// AC交DC的延长线于点E,连接AE.••• BE / AC,•••△ABC 和厶AEC 的公共边AC 上的高也相等， •••有 S\ABC =S AECS 四边形 ABCD =S\ACD +S ^ ABC =S\ACD +S\ AE (=S\ AED ;S\ACD > S ^ABC,所以面积等分线必与CD 相交，取DE 中点F ,贝U 直线AF 即为要求作的四边 形ABCD 的面积等分线.11 •如图1,点P 是厶ABD 中AD 边上一点，当P 为AD 中点时，则有S ^ABP 二S 2 △ ABD ,如图2,在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，探究：(1) 当AP 二AD 时，如图3,^ PB^A ABC 和厶DBC 的面积之间有什么关 系？写出求解过程；(2) 当AP 二AD 时，探究S A PBC 与S ABC 和&DBC 之间的关系，写出求解过程；(3) 一般地，当 AP —AD (n 表示正整数)时，探究 S\PBC 与S ^ABC 和S DBC 之间的关系，写出求解过程；(4) 当AP 亠AD (01)时，直接写出 &PBC 与&ABC 和 S A DBC 之间的关 n n【分析】(1)根据AP 十AD,A ABP 和厶ABD 的高相等，得出△ CDP^P A CDA 的高相等，进而得出 S\PBC =S 四边形ABCD- SxABP- SCDP,整理求出即可；(2) 仿照(1)的方法，只需把亍换为丄；(3) 注意由(1) (2)得到一定的规律；得到面积和线段比值之间的一般关 系；(4) 利用(3)，得到更普遍的规律.系.11 【解答】解：(1)当 APuAD 时(如图②)： ••• AP 丄AD ,A ABP 和厶ABD 的高相等, 2S\ ABP^^Sk ABD. 2••• PD=AD - AP=-AD , 2二 S PBC =S 四边形 ABCD — S\ABP — S k CDP=S 四边形ABCD — — （ S 四边形ABCD — S k DBC ） 2DBC +二 S ABC. 2 2 （2）v AP^_AD ,k ABP 和厶 ABD 的高相等， 二，/. SABP =—S kABD. :又••• PD=AD- AP~AD ,k CDP 和k CDA 的高相等, 3Q二 S CDP=^S k CDA. 3/• S PBC =S四边形 ABCD — S ABP — S CDP2十 S DBC^S ABC.1 9 ...S PBC^Sk DBC^-Sk ABC 3 3（3） S k PBC^—S k DBC + S k ABC ； n Xi••• AP 丄AD ,k ABP 和k ABD 的高相等， n.S ABP=—S ABD. n又••• PD=AD- AP 二^AD ,k CDP 和k CDA 的高相等, n .S CDP =2=S =S 四边形ABCD — 四边形ABCD — S k ABD _ — S\ CDA 3 ：3 （S 四边形 ABCD — S k DBC ） （S 四边形 ABCD —S k ABC ） △。