平行四边形单元 期末复习综合模拟测评学能测试试卷一、选择题1．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABCD 中，已知6AB =，8AD =，60B ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF ∆的面积是（ ）A ．83B ．123C ．143D ．1833．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①12OG AB =；②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF S S ∆>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④ 4．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，且60ADC ∠=︒，12AB BC =，连接OE ．下列结论：①AE CE =；②ABCD S AB AC =⋅；③ABE AOE S S ∆∆=；④14OE BC =，成立的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为()A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.46．如图，在ABC中，AB=AC=6，∠B=45°，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰ADE，其中AD=AE，∠ADE=45°，连接CE．在点D从点B向点C运动过程中，CDE△周长的最小值是（）A．62B．626+C．92D．926+7．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为( )A．1 B．103C．4 D．1438．在菱形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．14．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．16．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．18．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．20．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．三、解答题21．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．22．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．23．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．25．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．26．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.27．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 的一点，连接EB ，过点A 做AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为 ；（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．28．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.29．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM30．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.【详解】由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ， 即一个阴影部分的面积为如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， ∴n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）， ∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=． 故选B ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．2．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质得到6AB CD ==，8AD BC ==，求出BE 、BF 、EF ，根据()BFE CHE ASA 得出2CH =，23EH ，根据三角形的面积公式求DFH ∆的面积，即可求出答案． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，8AD BC ∴==，//AB CD ，6AB CD ==，E 为BC 中点，4BE CE ∴==，60B ∠=︒，EF AB ⊥，30FEB ∴∠=︒，2BF ∴=， 由勾股定理得：23EF =，//AB CD ，BECH ， 在BFE ∆和CHE ∆中， BECH BE CE BEF CEH ，()BFE CHE ASA ， 23EF EH ，2CH BF ， ∴111622323163222DHF SDH FH DC CH FE HE ， 1832DEF DHF S S ．故选：A ．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．3．A解析：A【分析】连结AE ，可说明四边形ABDE 是平行四边形，即G 是BE 的中点；由有题意的可得O 是BD 的中点，即可判定①；运用菱形和平行四边形的性质寻找判定全等三角形的条件，找出与其全等的三角形即可判定②；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12AB ，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形0DGF =S △ABF .即可判定③；先说明△ABD 是等边三角形,则BD=AB,即可判定④．【详解】解：如图：连结AE ．DE CD AB ==，//CD AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，G ∴是BE 的中点，∵O 是BD 的中点1122OG DE AB ∴==，①正确； 有BGA ∆，BGD ∆，AOD ∆，COD ∆，COB ∆，AOB ∆，共6个，②错误； ∵OB=OD ，AG=DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG//AB，OG=12AB ， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF， ∵△GOD 的面积=14△ABD 的面积，△ABF 的面积=△OGF 的面积的4倍，AF:OF=2:1， ∴△AFG 的面积=△OGF 的面积的2倍，又∵△GOD 的面积=△A0G 的面积=△B0G 的面积，.∴=ABF S S ∆四边形ODGF ；不正确；③错误；60AB AD BAD =⎧⎨∠=︒⎩ABD ∴∆是等边三角形．BD AB ∴=，ABDE ∴是菱形，④正确．故答案为A ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；考查知识点较多、难道较大，解题的关键在于对所学知识的灵活应用．4．C解析：C【分析】由▱ABCD 中，∠ADC=60°，易得△ABE 是等边三角形，又由AB=12BC ，证得∠CAD=30°；继而证得AC ⊥AB ，AE=CE ，可判断①；由AC ⊥AB ，则②S ▱ABCD =AB •AC ；可得OE 是三角形的中位线，则OE=12AB ，则③2ABE AOE S S ∆∆=；证得④14OE BC =． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB=BE ，∠BAE=60°，∵AB=12BC ， ∴AE=12BC ， ∴∠BAC=90°，∴∠ACE=∠CAE=30°，∴AE=CE ，故①正确；∵AC ⊥AB ，∴S ▱ABCD =AB •AC ，故②正确，∵点O 是AC 中点，点E 是BC 中点，∴OE=12AB ， ∴2ABE AOE S S ∆∆=，故③错误；∵OE 是中位线，∴OE=12AB=14BC ，故④正确． ∴正确的选项有①②④，共3个；故选：C.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．5．D解析：D【分析】连接OP ,由矩形ABCD 的可求OA=OD=52 ，最后由S △AOD =S △AOP +S △DOP 即可解答. 【详解】解：如图：连接OP∵矩形ABCD ，AB ＝3，BC ＝4∴S 矩形ABCD =AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,225AC =AB +BC = ∴S △AOD =14S 矩形ABCD =3，OA=OD=52∴S △AOD =S △AOP +S △DOP =()111532222OA PE OD PF PE PF +=⨯+= ∴PE+PF=2.4故答案为D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正确的做出辅助线和运用数形结合思想是解答本题的关键．.6．B解析：B【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得90,62,2BAC DAE BC DE AD ∠=∠=︒==，再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =，从而可得CDE △周长为2BC AD +，然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值，由此即可得．【详解】在ABC 中，6,45AB AC B ==∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，2290,62BAC BC AB AC ∠=︒=+=，在ADE 中，,45AD AE ADE =∠=︒，ADE ∴是等腰直角三角形，2290,2DAE DE AD AE AD ∠=︒=+=，90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，BD CE ∴=，CDE ∴周长为622CD CE DE CD BD DE BC DE AD ++=++=+=+， 则当AD 取得最小值时，CDE △的周长最小，由垂线段最短可知，当AD BC ⊥时，AD 取得最小值，AD ∴是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一），1322AD BC ∴==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．7．D解析：D【分析】过点F 作FH ⊥CD ，交直线CD 于点Q ，则∠EHF=90°，易证∠ADE=∠EHF ，由正方形的性质得出∠AEF=90°，AE=EF ，证得∠AED=∠EFH ，由AAS 证得△ADE ≌△EHF 得出AD=EH=4，则t+2t=4+10，即可得出结果．【详解】过点F 作FH ⊥CD ，交直线CD 于点Q ，则∠EHF=90°，如图所示：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠EHF ，∵在正方形AEFG 中，∠AEF=90°，AE=EF ，∴∠AED+∠HEF=90°，∵∠HEF+∠EFH=90°，∴∠AED=∠EFH ，在△ADE 和△EHF 中，ADE EHF AED EFH AE EF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△EHF （AAS ），∴AD=EH=4，由题意得：t+2t=4+10，解得：t=143， 故选D ．【点睛】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】①如图，连接AC ，BD 交于O ，四边形ABCD 是菱形，过点O 直线MP 和QN ，分别交AB ，BC ，CD ，AD 于M ，N ，P ，Q ，则四边形MNPQ 是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN 时，四边形MNPQ 是矩形，故存在无数个四边形MNPQ 是矩形；故正确； ③如图，当PM ⊥QN 时，存在无数个四边形MNPQ 是菱形；故正确；④如图，当四边形ABCD 为正方形时，四边形MNPQ 是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ 是正方形；故④正确；综上，①②③④4个均正确，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．9．C解析：C【分析】由222AB AC BC +=，得出∠BAC =90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB =∠EAC =60°，则∠DAE =150°，由SAS 证得△ABC ≌△DBF ，得AC =DF =AE =4，同理△ABC ≌△EFC （SAS ），得AB =EF =AD =3，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE =150°，则③正确；∠FDA =180°－∠DFE =30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ，1143622AEFD SDF AM DF AD ===⨯⨯=，则④不正确；即可得出结果．【详解】解：∵22234=5+，∴222AB AC BC +=，∴∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，故①正确； ∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，又∴∠BAC=90°，∴∠DAE=150°，∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴BD=BA ，BF=BC ，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC ，在△ABC 与△DBF 中，BD BA DBF ABC BF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DBF （SAS ），∴AC=DF=AE=4，同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），∴AB=EF=AD=3，∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ， ∴1143622AEFD S DF AM DF AD ===⨯⨯=， 故④不正确；∴正确的个数是3个，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．10．A解析：A【分析】根据正方形的性质，以及中点的性质可得△FGN ≌△HAN ，即证①；利用角度之间的等量关系的转换可以判断②；根据△AKH ∽△MKF ，进而利用相似三角形的性质即可判断③；设AN=12AG=x ，则AH=2x ，FM=6x ，根据△AKH ∽△MKF 得出2163AH x MF x ==，再利用三角形的面积公式求出△AFN 的面积，再利用DHKM ADM AKH S SS =-即可求出四边形DHKM的面积，作比即可判断④．【详解】 ∵四边形EFGB 是正方形，CE=2EB ，四边形ABCD 是正方形∴G 为AB 中点，∠FGN=∠HAN=90°，AD=AB即FG=AG=GB=12AB 又H 是AD 的中点 AH=12AD ∴FG=HA 又∠FNG=∠HNA∴△FGN ≌△HAN ，故①正确；∵∠DAM+∠GAM=90°又∠NFG+∠FNG=90°即∠FNG=∠GAM∵∠FNG+∠NFG+90°=180°∠AMD+∠DAM+90°=180°∠FNG=∠GAM=∠AMD∴DAM NFG ∠=∠，故②正确；由图可得：MF=FG+MG=3EB△AKH ∽△MKF ∴13KH AH KF MF == ∴KF=3KH又∵NH=NF 且FH=KF+KH=4KH=NH+NF∴NH=NF=2KH∴KH=KN∴FN=2NK ，故③正确；∵AN=GN 且AN+GN=AG∴可设AN=12AG=x ，则AH=2x ，FM=6x 由题意可得：△AKH ∽△MKF 且相似比为：2163AH x MF x == ∴△AKH 以AH 为底边的高为：11242x x ⨯= ∴212AFN S AN FG x =⨯⨯= 112225DHKM ADM AKH S S S AD DM AH x =-=⨯⨯-⨯⨯ 211172422222x x x x x =⨯⨯-⨯⨯= ∴2:7AFN DHKM S S =，故④正确； 故答案选择A ．【点睛】本题考查了矩形、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识．二、填空题11．【解析】分析：过O 点作OE ⊥CA 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接CO ，如图，易得四边形OECF 为矩形，由△AOP 为等腰直角三角形得到OA=OP ，∠AOP=90°，则可证明△OAE ≌△OPF ，所以AE=PF ，OE=OF ，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO 平分∠ACP ，从而可判断当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，接着证明CE=12（AC+CP ），然后分别计算P 点在D 点和B 点时OC 的长，从而计算它们的差即可得到P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长．详解：过O 点作OE ⊥CA 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接CO ，如图，∵△AOP 为等腰直角三角形，∴OA=OP ，∠AOP=90°，易得四边形OECF 为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF ，∴∠AOE=∠POF ，∴△OAE ≌△OPF ，∴AE=PF ，OE=OF ，∴CO 平分∠ACP ，∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，∵AE=PF ，即AC-CE=CF-CP ，而CE=CF ，∴CE=12（AC+CP ）， ∴2CE=22（AC+CP ）， 当AC=2，CP=CD=1时，2×（2+1）=322， 当AC=2，CP=CB=5时，OC=22×（2+5）=722， ∴当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长=22-3222． 故答案为2点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．12．218cm 【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】解：如图：∵正方形ABCD的对角线相交于点O，∴△AEO与△CFO关于O点成中心对称，∴△AEO≌CFO，∴S△AEO＝S△CFO，∴S△AOD＝S△DEO+S△CFO，∵对角线长为1cm，∴S正方形ABCD＝1112⨯⨯＝12cm2，∴S△AOD＝18cm2，∴阴影部分的面积为18cm2．故答案为：18cm2．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO≌CFO是关键．13．102-【分析】连结AC，取OC中点M，连结 MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】连接AC，交EF于O，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵AE＝CF，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OA ＝OC ，∴O 是正方形的中心，∵AB ＝BC ＝4，∴AC ＝OC ＝，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，过点M 作MH ⊥BC 于H ，∵MC ＝12OC ， ∴MH ＝CH ＝1，∴BH ＝4−1＝3，由勾股定理可得MB在Rt △GOC 中，M 是OC 的中点，则MG ＝12OC∵BG≥BM−MG ，当B ，M ，G 三点共线时，BG ，．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E ，F 运动到AD ，BC 的中点时，MG 最小是解决本题的关键．14．201812【分析】根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．【详解】∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC∴DE 、EF 是△ABC 的中位线∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12发现规律：规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812 故答案为：201812．【点睛】本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．15．(1) (2) (4)【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；由ASA 证明△AEF ≌△DMF ，得出EF=MF ，∠AEF=∠M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=12EM=EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF ，得出(2)正确； 证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．【详解】 (1)∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD=AB ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ， ∴∠DCF+12∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DMF 中，A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△DMF(ASA)，∴EF=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=12EM=EF，∴∠FEC=∠ECF，∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；(3)∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故(3)错误；(4)∵∠B=80°，∴∠BCE=90°-80°=10°，∵AB∥CD，∴∠BCD=180°-80°=100°，∴∠BCF=12∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(4)．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．16．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ，∵在△EPM和△GQM中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．17．72；【分析】连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【详解】解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，∵O 是正方形DBCE 的对称中心，∴BO=CO ，∠BOC=90°，∵FO ⊥AO ，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ，在△AOC 和△FOB 中，AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=14×22=72． 故答案为72．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算． 18．12013【分析】设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO 和OH 长，若MN 最小，则MO 最小即可，而O 点到AC 的最短距离为OH 长，所以MN 最小值是2OH ．【详解】解：设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，∵四边形MCNB 是平行四边形，∴O 为BC 中点，MN ＝2MO ．∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，∴AO ⊥BC ．在Rt △AOC 中，利用勾股定理可得AO 2222135AC CO -=-12．利用面积法：AO ×CO ＝AC ×OH ，即12×5＝13×OH ，解得OH ＝6013． 当MO 最小时，则MN 就最小，O 点到AC 的最短距离为OH 长， 所以当M 点与H 点重合时，MO 最小值为OH 长是6013． 所以此时MN 最小值为2OH ＝12013．故答案为：12013． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．19．5【分析】 先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可． 【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．7【分析】①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=+四边形即可得出答案．【详解】 四边形ABCD 是平行四边形//,AD BC AD BC ∴=,,AF EC n m BC BCm n === AF EC ∴=AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE = ∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形 //,//AE CF BF DE ∴∴四边形EGFH 是平行四边形 综上，图中共有4个平行四边形 如图，连接EF1,,AF EC n m BC B n Cm ==+= AF EC BC AD ∴+==AF DF AD +=EC DF ∴=AF BE ∴=∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形 11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴== 28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+12874=⨯= 故答案为：4；7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．三、解答题21．EF ＝13．【分析】首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出；【详解】解：连接AD ．∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠C =45°，∵∠EDA +∠ADF =90°，又∵∠CDF +∠ADF =90°，∴∠EDA =∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，EDA FDC AD CDEAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△CFD (ASA )．∴AE =CF =5．∵AB =AC ，∴BE =AF =12．在Rt △AEF 中，∵∠EAF =90°，∴22222512169EF AE AF =+=+=，∴EF =13．【点睛】本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键．22．（1）①见解析；②GFC 是等腰三角形，证明见解析；（2）4+25或4﹣25．【分析】（1）①只要证明△DAH ≌△DCH ，即可解决问题；②只要证明∠CFG=∠FCG ，即可解决问题；（2）分两种情形解决问题：①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．分别求出EC 即可解决问题．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DA ＝DC ，在△DAH 和△DCH 中，DA DC ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAH ≌△DCH ，∴∠DAH ＝∠DCH ；∵∠ECG=∠DAH ，∴∠ECG=∠DCH ，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，∴∠DCH+∠FCG=90°，∴CH ⊥CG.②∵在Rt △ADF 中，∠DFA+∠DAF ＝90°，由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH ＝∠DCH ；∴∠DFA ＝∠FCG ，又∵∠DFA ＝∠CFG ，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形-．（2）BE的长为 4+25或425①如图①当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，又∵在Rt△FCG中，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∴G是EF的中点，∴GM是△DEF的中位线∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝22DE DC64-＝25，-＝22∴BE＝BC+CE＝4+25．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝5，在Rt△DCE中，CE2264-5-22DE DC∴BE＝BC﹣CE＝4﹣5综上所述，BE 的长为4+4﹣【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（1）5EF =；（2）见解析；（3）5BE =【分析】（1）先用SAS 证ABG ≌ADF ，可得AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，又可证∠EAG=∠EAF ，故可用SAS 证GAE ≌FAE ，EF=GE ，即EF 长度可求；（2）在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ，先用SAS 证ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，且DG=BE ，故EF=DF-DG=DF-BE ；（3）在线段DF 上取BE=DG ，连接AG ，求证∠ABE=∠ADC ，即可用SAS 证ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，设BE=x ，则CE= 7+x ，EF=18-x ，根据勾股定理：222CE CF =EF +，即可求得BE 的长度．【详解】解：（1）证明：如图1所示，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°， 在ABG 和ADF 中，AB=AD ABG=ADF BG=DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴ABG ≌ADF （SAS ），∴AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°，且∠EAF=45°，∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF ， 在GAE 和FAE 中，AG=AF GAE=FAE AE=AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴GAE ≌FAE （SAS ），∴EF=GE=GB+BE=2+3=5；（2）如下图所示，在DF 上取一点G ,使得DG=BE , 连接AG ，。