= tat.�!:'(z-2)" -t (;,,2 (z -2)'
Zo
。 =2
I 一= Z z 2 3 及一 I- + -z +···,I Z I<) 。故 I+z
1 z-1 = 一 = z -1 I (z 1) 言 (z-1 +2) 了 l + 已 2
(6) arctan z, z =0
= 1+1 .
。
吕＝旱 [1- 子十 (T丁-···+(- 1t'(罕）'+
11=1 ln1n
1 ” a11+1 a n =0 = lim n =lim (2) R=1/lim ; 11 ---'>«> 1---)00 1 II 00 n+ 1 a＂ all+ [
—
II
—
11
(1+ — )
千
(3) R= 1/lim /1---)00
(4) R =ll �
扣厂 lim1/ 11 + i I = 1/忒 ； ---'>
i'
00
0, 1，
3. 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：
2)
不存在 ，
lakl, 囡>l, a=l ， 囡=l,a
;
.
=1=
1.
I 上－；
11=2 ln n
•fl
3)
解 所以
C:,J
1)
• fl
I� 收敛，但 － n n=I n
oo n兀. n冗 — — " +isin , 由 i =cos 2 2 11=1 • 00·11 1 1 II,
玉
十
a 1一 幕级数I:nc11z 1 ）的收敛半径为R =1/lim 一 /l�CI) a ll 故以上三个幕级数有相同的收敛半径 。
=
lim
I I�
。
" =1/ I p I ; (n + l)c1 1+L
nc
11 9 设级数fc 收敛，而 忙 I发散，证明fc11z 的收敛半径力l。 " 11=0 11=0 n= O
1. 下列数列{a }是否收敛？如果收敛 ， 求出它们的极限： "
I)
习题四解答
- 11
a,, =
汀
芒，
2)
1 一11 i aII=-e /2
n
解
1)
a,, =(
气），
3)
a,. = (-!)"+
i 4) 二，
,, a,, =,- ,,,,,
5)
aII =- 1 llm 一
． 儿 �。
l+ ni 1 - n2 2n 2n 1-n2 + i, 又lim = -1,lim = =0, 故 a” 收敛 ， a11= 11400 1 + n2 114001 + n2 1 - ni 1 + n2 1 + n2 1+
2!
3!
2!
3!
3!
5!
2
4
而收敛半径 R=扛'fJ •
而收敛半径 R=+oo;
(7)
z
而收敛半径 R=l 。
cos 土 ==1- 上 (z+z2 + z3 + .. 一上 (z+z2 +z3 + ...r +... =1-2. z2 - z 3 +...' I zI< 1 I 1-z 2 4! 2
en
I土(p为正整数）； n
n=I
II
p
c2)
oo (n!)2 L ＂ z
,1=)
II
;
-1)";
o) Lo+ir z";
n=O
解
(4) Ie 飞 z'l ; 11=1
00
,ft
(1) R= 1/lim 11-+00
虾门=lim 心-;;=l; 11-+00
2
00 (5) �ch
尺）位
(6)
豆勹" .
00 = II
恩妇 =l;
CS) R=l/
曰勹 =II 酝 ch
1
(6) R=ll�
11
皿聂l =lim I ln in I= oo ; 1 �00
:I 匠)I 三叶三
11
=I;
7 如果I:c11 z 的收敛半径为R, 证明级数I:(Rec11 )才的收敛半径�R。 11=0 1 1=0 证明 对干圆lzl<R内的任意 — 点Z, 由已知Ic11z 绝对收敛即fie、 ,,llzl"收敛，又 11=0 11=0
ez -e气
2
3
z z (5) ch z = I+ — + — + ... ,lzl<+cx斗
2! 4!
4
z +— z +... ,lzk 知， sh z =z+—
3
') 3 7 73 7 � � z · +— +...,lzk+oo, + ... ,lzk 知， e-z=l-z+ —－二 ,ez =1+z+ —
3 2 十卢＋ 2 3
,f
12. 求下列各函数在指定点z。处的 Taylor 展开式，井指出它们的收敛半径：
5
1 (3) 下， z z
解 (5)
z-1 (1)—, z z+l
。 =l
(2) (4)
(1) 因
。 =-1 tan z, z。 ＝ 口 4
z , z (z+1X z+2 ) 1 , 4-3z
1
—== 1-z 3 +z 6 -z 9 + ... +(-1t产＋ 3 1 +z
十
<l, ， Iz I
+z
1
= 1- z + z2 -z 3+.
又因
(1
( 1 1
1 +z 2
1
... +(-1)"产＋ =l-z2 +z-1 +
I=
... , I zkl, 1)"z"+ (，
而R= 1:
1 忙司 1 ' +习＝一百 =l-2z'+3z'-4z'+ ... ,
n=O
数。
解 R
z=3收敛，矛盾。
汹 -21 =2'
CO
00 不 能。因如I:c11 (z-2)" 在z = O收 敛 ， 则 由Abe l 定理其 收 敛 半 径 11=0 而13-2 1 = I< 2即z = 3在其收敛圆口-21<2内，故级数 11=0
Le,, (z-2f 在
6. 求下列幕级数的收敛半径：
) + z')
(, + z'r'
-2z
Iz kl,
故
< I, Iz I
4 6 z2 £ (3)因cosz=1-— + -土+... ,lzl < 心， 故 2! 4! 6!
cos z 2 =1-—+— - —+··· 2! 4! 6!
,7, 4
z8
z]2
4
lzk+oo 而其收敛半径 R=+oo;
(4) 因 sh z=
(6
�
:i)"
i) =(亨］ ，而芦厂卢 J收敛，故 芦 <�: " 绝对收 敛
＇
In n
1
n
1
4)因 cos in= cbn,
( 1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 ；
4. 下列说法是否正确？为什么？
而lim—-=1=0,
II�")
chn
2"
故
cosm 2 — " 发散。 11=2 2
00
(2)每一个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
=
＝早－（于)2 f （）
11=]
一I
干是收敛半径 R=2 。 (2)因
(-1t z-1 "' "
2
+ ... + ( -1 y,-1
(早厂
lz-11<2
l
及
飞(z�2 一言） = z�2 一士 2 = = 1-'� 厂; J- J [ =』 z�2 4 +(:-2i ± + � 2 �
(z+ 1Xz+2)
II 为
11 因IRec11I s lc11 I, 从而IRe c11llzl sl c11 II z 1 , 故由正项级数的比较判别法LIRec11 II寸也 11 0 00 收敛即I:(Rec,,)z "在lzl<R内绝对收敛，干是其收敛半径2:: R。 11=0
=
8. 证明：如果 lim 2兰 存在 (=1=00), 下列三个幕级数有相同的收敛半径 n---+r:t:> C ＂
故
2 3 3 ) + ... =z+z +-z3 +... , I z I< l, 故 sin 一一= (z+z +z +...)-- (z+z2 +z +... 1- z 3! 6
2 5
而收敛半径 R=l。