第四章练习题
4.1 假设在模型i i i i u X X Y +++=33221βββ中，32X X 与之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：
i
i i i i i u X Y u X Y 23311221++=++=γγαα
(1)是否存在3
322ˆˆˆˆβγβα==且？为什么？ (2)吗？或两者的某个线性组合或会等于111
ˆˆˆγαβ (3)是否有()()()
()33
22ˆvar ˆvar ˆvar ˆvar γβαβ==且？ 【练习题4.1参考解答】
(1) 存在2233ˆˆˆˆαβγβ==且 。
因为 ()()()()()()()
2233232
2
222323ˆi i
i
i i
i i
i
i
i i
y x x y x x x
x x x x β-=
-∑∑∑∑∑∑∑
当23X X 与 之间的相关系数为零时，离差形式的
230i i
x
x =∑
有 ()()()()22322
2222223ˆˆi i i i i i
i
i
y x x y x x
x x βα
==
=∑∑∑∑∑∑ 同理有： 33
ˆˆγβ= (2)会的。
(3) 存在 ()()()
()2233ˆˆˆˆvar var var var βαβγ==且 因为 ()()2
2
2
2223
ˆvar 1i
x r σβ=-
当 230r = 时， ()()()22
2
222
22223
ˆˆvar var 1i
i
x x r σσβα
===-∑∑ 同理，有 ()()33
ˆˆvar var β
γ= 4.2 克莱因与戈德伯格曾用1921-1950年(1942-1944年战争期间略去)美国国内消费Y 和工资收入X1、非工资—非农业收入X2、农业收入X3的时间序列资料，利用OLSE 估计得出了下列回归方程(括号中的数据为相应参数估计量的标准误差)：
2
37
.107 95.0 (1.09) (0.66) (0.17) (8.92) 3121.02452.01059.1133.8ˆ2==+++=F R X X X Y 试对上述模型进行评析，指出其中存在的问题。
【练习题4.2参考解答】 建议学生自己独立完成
4.3 表4.9给出了中国商品进口额Y 、国内生产总值GDP 、居民消费价格指数CPI 。
表4.9 中国商品进口额、国内生产总值、居民消费价格指数
3
资料来源：《中国统计年鉴》，中国统计出版社2000年、2008年。
请考虑下列模型：i t t t u CPI GDP Y ++=ln ln ln 321βββ＋ (1)利用表中数据估计此模型的参数。
(2)你认为数据中有多重共线性吗？ (3)进行以下回归：
i
t t i t t i t t v CPI C C GDP v CPI B B Y v GDP A A Y 321221121ln ln ln ln ln ln ++=+=+=＋＋
根据这些回归你能对数据中多重共线性的性质说些什么？
(4)假设数据有多重共线性，但3
2ˆˆββ和在5%水平上个别地显著，并且总的F 检验也是显著的。
对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？
【练习题4.3参考解答】
(1) 参数估计结果如下(括号内为标准误)：
^
22ln() 3.090 1.331ln()0.412ln()
(0.447) (0.085) (0.224)0.9889 0.9880 F 1066.868
Y GDP CPI R R =-+-===
(2)数据中有多重共线性，居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释，且CPI 与进口之间的简单相关系数呈现正向变动。
VIF=10.92，表明lnGDP 与lnCPI 之间存在较高的线性相关。
存在多重共线性。
(3)分别拟合的回归模型如下(括号内为标准误)：
^
22ln() 3.720 1.183ln ()
(0.301) (0.027)
0.9873 0.9868 1944.552Y GDP R R F =-+===
^
22ln() 6.855 2.939ln (PI) (1.242) (0.223)
0.8745 0.8694 174.125Y C R R F =-+===
^22ln() 2.827 2.517ln (PI) (0.891) (0.160)
0.9085 0.9049 248.347
GDP C R R F =-+===
单方程拟合效果都很好，回归系数显著，可决系数较高，GDP 和CPI 对进口的显著的单一
影响，在这两个变量同时引入模型时影响方向发生了改变，这只有通过相关系数（r=0.9532)的分析才能发现。
(4)如果仅仅是作预测，可以不在意这种多重共线性，但如果是进行结构分析，还是应该引起注意。
4.4 在本章开始的“引子”提出的“国内生产总值增加会减少财政收入吗？”的例子中，如果所采用的数据如表4.11所示
表4.11 1978-2011年财政收入及其影响因素数据
4
5
(资料来源：《中国统计年鉴2008》，中国统计出版社2008年版)
试分析：为什么会出现本章开始时所得到的异常结果？怎样解决所出现的问题？ 【练习题4.4参考解答】 建议学生自己独立完成 4.5 考虑如下模型：
()t t t t t t u M M M M GDP +-++=--141321ββββ＋
其中，t GDP 表示t 时期的国内生产总值，t M 表示t 时期的货币供给水平，1-t M 表示t -1期的货币供给水平，1--t t M M 表示从t-1期到t 时期的货币供给水平的变化。
该模型设想t 时期的国内生产总值是t 时期和t-1期货币供给水平及此期间货币供给水平变化量的函数。
（1）假设你收集到了估计上述模型的数据，你能成功地估计出模型的全部系数吗？为什么？
（2） 如果不能，那么什么系数可以估计？
（3）假设13-t M β一项不出现在模型中，你对（1）的回答仍然一样吗？ （4）重做（3），但现在假设t M 2β不出现。
【练习题4.5参考解答】
（1）由于第三个解释变量1t t M M -- 是t M 和1t M -的一个线性组合，所以可能存在多重共线性问题。
（2）如果重新将模型设定为：
1243411121()()t t t t
t t t
GDP M M u M M u ββββββαα--=++-+=+++＋
我们可以唯一地估计出112βαα、、 ，但不能唯一地估计出234βββ、、 。
（3）由于不再有完全共线性，所有参数都能唯一地估计出来。
（4）答案同（3）
4.6自己选择一个有兴趣的实际经济问题，建立有三个以上解释变量的多元线性回归模型，并收集数据对模型作估计检验。
你所建立的模型存在多重共线性吗？怎样选择变量才可能避免多重共线性的出现？
【练习题4.6参考解答】
建议学生自己独立完成
6。