高三数学周周练
2018．9
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
．） 1．设集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，则A I B ＝ ．
2．若复数12mi z i
-=+（i 为虚数单位）的模等于1，则正数m 的值为 ． 3．命题“(0x ∀∈，
)2π，sin x ＜1”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 4．已知1sin 4α=，(2
πα∈，)π，则tan α= ． 5．函数()sin(2)sin(2)33f x x x ππ
=-++的最小正周期为 ． 6．函数2()log f x x =在点A （2，1）处切线的斜率为 ．
7．将函数sin(2)6y x π
=+的图像向右平移ϕ（02π
ϕ<<）个单位后，得到函数()f x 的
图像，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值等于 ．
8．设函数240()30
x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，，，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是 ．
9．已知函数2()f x x =，()lg g x x =，若有()()f a g b =，则b 的取值范围是 ．
10．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则b a
的值为 ． 11．已知函数()sin ([0f x x x =∈，])π和函数1()tan 2
g x x =
的图像交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为 ． 12．已知210()ln 0
x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，则方程[()]3f f x =的根的个数是 ． 13．在△ABC 中，若tanA ＝2tanB ，2213a b c -=
，则c ＝ ． 14．设函数2()x a f x e e =-，若()f x 在区间(﹣1，3﹣a )内的图像上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
已知函数2()cos cos f x x x x =-．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若()1f x =-，求2cos(
2)3
x π-的值．
16．（本题满分14分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos B sin C b =
+．
（1）求∠C 的值；
（2）若c ＝2a ＋b 的最大值．
17．（本题满分14分）
已知函数()33()x x f x R λλ-=+⋅∈．
（1）当1λ=时，试判断函数()33x x
f x λ-=+⋅的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若不等式()6f x ≤在[0x ∈，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．
18．（本题满分16分）
如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇，现规划在公路l 1，l 2上分别选择
A ，
B 两处为交汇点（异于点O ）直接修建一条公路通过
C 城，已知OC ＝)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，设OA ＝x km ，OB ＝y km ．
（1）求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域；
（2）试确定点A 、B 的位置，使△ABO 的面积最小．
19．（本题满分16分）
已知函数2
()2ln ()f x x x a x a R =-+∈．
（1）当a ＝2时，求函数()f x 在（1，(1)f ）处的切线方程 ；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ＜2x ），不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．
20．（本题满分16分）
给出定义在(0，+∞)上的两个函数2()ln f x x a x =-，()g x x =-
（1）若()f x 在1x =处取最值，求a 的值；
（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(0，1]上单调递减，求实数a 的取值范围；
（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
附加题21．（本题满分10分）
已知矩阵
2
A=
4
⎡
⎢-
⎣
1
3
-⎤
⎥
⎦
，
4
B=
3
⎡
⎢-
⎣
1
1
-⎤
⎥
⎦
，求满足AX＝B的二阶矩阵X．
22．（本题满分10分）
在如图所示的四棱锥S—ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝BC＝a，AD＝3a（a＞0），E为线段BS上的一个动点．
（1）证明：DE和SC不可能垂直；
（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S—CD—E的余弦值．
23．（本题满分10分）
某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A ，B ，C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12
，通过项目B 、C 的概率均为a （0＜a ＜1），且这三个测试项目能否通过相互独立．用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望E(X)（用a 表示）．
24．（本题满分10分）
在集合A ＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m （m ≤n ，m ，n N *
∈）个元素构成集合A m ．若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；A m 的所有元素之和为奇数，则称A m 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-．
（1）当n ＝2时，求(1)F ，(2)F ，(3)F 的值；
（2）求()F m ．
参考答案
1．{0，1}
2．2
3．假
4．5．π
6．1
2ln 2
7．3π
8．(-∞，1)(1-U ，)+∞
9．[1，)+∞
10．1
2-
11
12．5
13．1
14．1
(2-，1
)2
15．（1）π，（2）1
2-．
16．（1）3π
，（2）
17．（1）偶函数，（2）27λ≤-．
18．
19．
20．
21．
22．
23．
24．。