2014 年深圳市高三年级第二次调研考试本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,请填写好答题卡与答题卷上的个人信息——班级、学号以及姓名.一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．函数()ln 1y x =+的定义域是( )A ．()1,0-B ．()0,+∞C ．()1,-+∞D ．R2．方程410z -=在复数范围内的根共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C ．两个点D ．一条直线和直线外一点4．在下列直线中,与非零向量(),A B =n 垂直的直线是( )A ．0Ax By +=B ．0Ax By -=C ．0Bx Ay +=D ．0Bx Ay -= 5．已知函数()y f x =的图象与函数11y x =+的图象关于原点对称,则()f x 等于( ) A ．11x + B ．11x - C ．11x -+ D ．11x --6．已知ABC ∆中,222sin sin sin sin sin A B C B C =++,则角A 等于( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7．已知不等式422xxay y +-≤+对任意的实数x 、y 成立,则常数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图1,我们知道,圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S =()()2222R rR r R r ππ+-=-⨯⨯.所以,圆环的面积等于是以线段AB R r =-为宽,以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长22R rπ+⨯为长的矩形面积. 请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题: 若将平面区域()(){}222,M x y x d y r =-+≤(其中0r d <<)绕y 轴旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( )A ．22r d π B ．222r d π C ．22rd π D ．222rd π图3图4二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分） (一)必做题(9～13题)9．如图2,在独立性检验中,根据二维条形图回答:吸烟与患肺病 ______关系(填“有”或“没有”).10．在(42x 的二项展开式中,含3x 项的系数是________. 11．以抛物线24y x =的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双 曲线方程为____________________.12．设变量,x y 满足011x y y ≤≤+⎧⎨≤⎩,则x y +的取值范围是____________.13．在程序中,RND x =表示将计算机产生的[]0,1区间上的均匀 随机数赋给变量x .利用图3所示的程序框图进行随机模拟, 我们发现:随着输入N 值的增加,输出的S 值稳定在某个常数 上.这个常数是__________.(要求给出具体数值)（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,,A B 分别是直线3cos 4sin 50ρθρθ-+=和圆2c o s ρθ=上的动点,则,A B 两点之间距离的最小值是________.15. (几何证明选讲选做题)如图4,OAB ∆是等腰三角形,P 是底边AB 延长线上一点,且3PO =,4PA PB ⋅=,则腰长OA =________.准考证号： 学号： 姓名： 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.图216.(本题满分12分)已知函数()sin cos 6f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中x ∈R ,ω为正常数. （Ⅰ）当2ω=时,求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）记()f x 的最小正周期为T ,若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,求T 的最大值.17.(本题满分12分)某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下:每人连续投掷5支飞镖,累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖.同时要求在以下两种情况下终止投掷:①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标. 已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p (0.5p >),且掷完3支飞镖就终止投掷的概率为13. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）记小明结束游戏时,投掷的飞镖支数为X ,求X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,已知ABC ∆为直角三角形,ACB ∠为直角.以AC 为直径作半圆O , 使半圆O 所在平面⊥平面ABC ,P 为半圆周异于,A C 的任意一点.图5（Ⅰ）证明:AP ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1PA =,2AC BC ==,半圆O 的弦//PQ AC ,求平面PAB 与平面QCB 所成锐二面角的余弦值.19.(本题满分14分)设等差数列{}n a 的公差为d ,n S 是{}n a 中从第12n -项开始的连续12n -的和,即11S a =, 223S a a =+, 34567S a a a a =+++,…1122121n n n n S a a a --+-=+++,…（Ⅰ） 若123,,S S S 成等比数列,问:数列{}n S 是否成等比数列?请说明你的理由； （Ⅱ） 若11504a d =>,证明:12311118119241nn S S S S d ⎛⎫++++≤- ⎪+⎝⎭,*n ∈N .20.(本题满分14分)已知a 为正常数,点,A B 的坐标分别是()(),0,,0a a -,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是21a -. （Ⅰ） 求动点M 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线；（Ⅱ） 当a =,过点()1,0F 作直线//l AM ,记l 与(1)中轨迹相交于两点,P Q ,动直线AM 与y 轴交于点N ,证明:PQAM AN⋅为定值.21.(本题满分14分)设()f x 是定义在[],a b 上的函数,若存在(),c a b ∈,使得()f x 在[],a c 上单调递增,在[],c b 上单调递减,则称()f x 为[],a b 上的单峰函数,c 为峰点. （Ⅰ）已知()()()22212224f x x x x x t =--+为[],a b 上的单峰函数,求t 的取值范围及b a -的最大值； （Ⅱ）设()2313420142314n n n x x x p x f x px x n n ++⎛⎫=+-+++++⎪++⎝⎭,其中*n ∈N ,2p >. ①证明:对任意*n ∈N ,()n f x 为10,1p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单峰函数； ②记函数()n f x 在10,1p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的峰点为n c ,*n ∈N ,证明:1n n c c +<.2014 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科） 参考答案及评分标准9. 有 10. 11.2213y x -= 12.[1,3]- 13. 23 14.35三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤16.已知函数()sin cos 6f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中x ∈R ,ω为正常数.（Ⅰ）当2ω=时,求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）记()f x 的最小正周期为T ,若13f π⎛⎫=⎪⎝⎭,求T 的最大值.解：（Ⅰ）当2ω=时，sin cos 0336f π2π5π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.……4分（Ⅱ）因为()1sin cos sin sin 62f x x x x x x ωωωωωπ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭ ……6分1sin sin 23x x x ωωωπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.……8分所以由13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2332k ωπππ+=+π，k ∈Z ，即62k ω1=+，k ∈Z .又0ω>，所以ω的最小值为min 12ω=. ……10分所以T 的最大值max min24T ωπ==π.……12分17.某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下:每人连续投掷5支飞镖,累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖.同时要求在以下两种情况下终止投掷:①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标. 已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p (0.5p >),且掷完3支飞镖就终止投掷的概率为13. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）记小明结束游戏时,投掷的飞镖支数为X ,求X 的分布列和数学期望.（1）依题意，有()()331313P X p p ==+-=. ……2分 解得13p =或23p =. ……4分 因为12p >，所以23p =. ……5分 （2）X 的所有可能取值为3、4、5.……6分()133P X ==.……7分()222233212121104C C 33333327P X ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.……8分()22242185C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ……9分所以X 的分布列为……10分所以X 的数学期望为11081073453272727EX =⨯+⨯+⨯=. ……11分 答：（1）p 的值为23；（2）X 的数学期望为10727. ……12分18.如图5,已知ABC ∆为直角三角形,ACB ∠为直角.以AC 为直径作半圆O , 使半圆O 所在平面⊥平面ABC ,P 为半圆周异于,A C 的任意一点.（Ⅰ）证明:AP ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1PA =,2AC BC ==,半圆O 的弦//PQ AC ,求平面PAB 与平面QCB 所成锐二面角的余弦值.【证明】（1）因为P 为半圆周上一点，AC 为直径，所以AP PC ⊥.……2分因为ACB ∠为直角，所以BC AC ⊥，又BC ⊂平面ABC ，半圆O 所在平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，所以BC ⊥平面PAC .……4分 又AP ⊂平面PAC ，所以AP BC ⊥.……5分 而PC 、BC ⊂平面PBC ，PC BC C =I ，所以AP ⊥平面PBC .……7分（2）取AB 中点D ，PQ 中点E .以O 为原点，OD 、OC 、OE 所在直线为x、y 、z 轴，建立空间直角坐 标系.()0,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C，10,2P ⎛- ⎝⎭，10,2Q ⎛ ⎝⎭，所以()2,0,0CB =u u r ，10,2CQ ⎛=- ⎝⎭uu u r ， 10,2AP ⎛= ⎝⎭uu u r ，()2,2,0AB =u u u r .……9分设平面QBC 的法向量为(),,x y z =n ，由00CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uur uu u r n n可得20102x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩.令1z =，可得y =所以平面QBC的一个法向量为()=n .……10分设平面PAB 的法向量为(),,x y z =m ，由00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r n n可得102220y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩.令1z =，可得y =x =PAB的一个法向量为)=m .……12分设平面PAB 与平面QBC 所成锐二面角的大小为θ，则cos cos ,θ⋅===n m n m n m分 所以平面PAB 与平面QBC……14分。