2010全国大学生数学建模竞赛xx大学数学学院选拔赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛的题目是：改进重心法解决报亭选址问题我们的参赛报名号为：所属系、专业、班（请表明本专科）：数学与信息科学学院、数学与应用数学专业二班（本科）参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2010 年 6 月 7 日评阅编号（由数学建模协会评阅前进行编号）：目录目录 (1)一、摘要 (2)二、问题的重述及分析 (3)三、模型假设 (4)四、符号说明 (4)五、模型建立 (5)六、模型求解 (5)七、结果分析、模型检验 (7)八、模型评价 (8)九、参考文献 (8)十、附录 (8)改进重心法解决报亭选址问题一、 摘要将重心法模型】【91-进行改良应用于连续性多选址问题中，根据实际情况，将待选区域划分为几个小区域，再对这些小区域顺次运用重心法建立模型，通过 MATLAB 对所列线性规划方程求解，得出每个区域的最佳选址地点，即解决了大区域的多选址问题。

对于本题，报亭选址主要是报亭的数量、位置和大小三个问题，我们首先要解决的是报亭数量的问题，然后根据数量和总需求量来确定书报亭的大小，再根据确定的报亭大小应用改进的重心法来解决报亭位置的选取问题。

根据题目提供的校区总平面图将四川文理学院划分为5个区域, 又考虑到待选区域人群活动的主要特点，只在学生生活区和教职工生活各设一个报亭，然后分别对各个功能区域使用改进重心法，并考虑经济效益、满意度等目标，以尽可能的满足题目中的三点基本要求，来进行单报亭点的选址分析并建立模型求解，得出所建报亭数目是两个，一个在学生生活区的中二楼与中三楼之间的十字路口旁，面积为2112.1719m S =，另一个在教职工生活区中心花园入口处，面积为228.216m S =（报亭位置详情可见图3-5）。

关键词：改进重心法 连续性多选址问题 线性规划 基本要求二、问题的重述及分析四川文理学院新校区位于四川省东部重镇达州市，于2002年在通川区西外镇一次性规划1200亩，首期征地692.22亩建设新校区。

在校本、专科学生9363人，在职教职工632人。

需要设立一些报亭以满足老师和同学们的需求，在新校区设立这种报亭在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足老师和同学们需求、分布基本均衡和商业上赢利。

我们首先要分析校区平面图和人数分布，再结合各大高校校区面积与报亭数量的比例数据，确定四川文理学院对报亭的数量需求。

然后研究报亭的总需求量，再结合各大高校报亭的使用情况，算出各个报亭的面积，其后根据影响整体便利程度的各个要素数据和改进重心法分析报亭设置在何处。

根据题目提供的校区平面图我们知道，校区采用中轴线控制下的对称构图形式，各大功能区围绕中央景观大道布局，以一条环形路作为校园主干道，联系各功能区。

校园大体分为五大功能区，分别是行政办公区、教师生活区、教学区、学生生活区、体育运动区，它们沿环形主路逆时针布局（如图1所示）。

图1综合各大学校区面积与报亭个数比例的数据与对四川文理学院校区规划的分析，我们设立报亭数量为2个，地点分别设在学生生活区和教职工生活区内。

分析如下：考虑到学校主要成员是学生和教职工，学生的主要活动区域为学生生活区、教学区和体育运动区，教职工的主要活动区域除教学区，还有教职工生活区和行政办公区。

学生生活区的人数较多需求量较大，故在学生生活区设一个报亭；同理，教职工生活区人数较多，需求量较大，故在教职工生活区设立一个报亭；教学区是教职工和学生共同的主要活动区域之一，虽然需求量同样很大，但由于此区域有一个占地面积较大的图书馆可以充分满足该区教职工和学生的需求，故没有必要在此区设立报亭；体育运动区的学生一般不使用报亭(可忽略运动场的人流量)，故不必在此设立报亭；虽然行政办公区人流量也不少，但考虑到教职工可供选择的范围较大，故此处也不必设立报亭。

报亭的大小可由需求量确定，报亭位置我们采用改进的重心法即可得出。

三、 模型假设1. 报亭都无条件遵从校方的管理条例，即不考虑经营管理的可变费用；2. 书报亭都是同一形式，同一材料，只有体积差别，不区分不同地段报亭的建设成本；3. 报亭的服务能力只与所占面积有关，且呈正比，其比例系数可记为报亭的单位服务能力；4. 报亭的造价只与占地面积有关，且成正比；5. 需求量与时间无关，只取决于人数和距离，且与人数成正比，与距离成反比；6. 报亭的顾客仅限于在校学生和教职工（不考虑其他闲杂人员等）；7. 不考虑各功能区每天人数的变化；8. 各学生宿舍人数一样，各教职工宿舍人数一样。

四、 符号说明a ------报亭单位服务能力；c ------报亭单位面积造价；k ------需求量与需求点人数的比例系数；T ------教职工总人数；P ------学生总人数；j Q -----j 区需求点总数（即该功能区的楼数）；j S -----j 区所建报亭面积；j B -----j 功能区人数；j k -----j 功能区人员对报亭的利用率；i d -----第i 个需求点到该区域报亭点的距离；j b -----j 功能区内每个需求点人数（由假设9知同一区域各需求点人数相同）； 'vj D -----j 区备选v 地址的总的直线步行距离；()j j Y X,-----j 功能区报亭点的最佳位置坐标；()ij ij Y X ,----- j 功能区第i 个需求点所在位置坐标。

五、 模型建立对学生生活区和教职工生活区的报亭设立进行模型求解，设它们分别为1区2区，利用重心法得到线性规划方程：线性约束条件：akBj S j =； ()()22ij j ij j ij Y Y X Xd -+-=； ∑===jQ i i i j j d b k D 1j ；目标函数：()()1min 2++'=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+'=a cS D a c aS a aS c D X F vj vj j ； 其中,21=j ；j Q i ,,2,1Λ=.对题目所提供图形经过放大处理，可清晰地观察到学生生活区主要使用楼数为9、教职工生活区主要使用楼数为14，即91=Q ，142=Q ，我们查得普通本专科在校学生9363人，在职教职工632人，即9363=P ，632=T ；又11Q P b =，22Q T b =，得到3.10401=b ，1.452=b .从相关资料上可查得性价比较好的报亭（如图2所示），规格： 3.23.81⨯⨯（高长宽⨯⨯ ），价格：2800元，计算得单位面积造价平方米元1.486.23.812800=⨯=c 。

综合作者所在学校主体的问卷调查并结合四川文理学院的实际情况，可知013.01=k ，3.102=k ，10=a .六、 模型求解利用MATLAB 求解上述三组线性规划方程（程序见附录），得到学生生活区和教职工生活区报亭：面积分别为2112.1719m S =，228.216m S =；最佳位置分别为()()2366.2,0642.2,11=Y X ；()()5174.3,7348.5,22=Y X . 如图3-4所示（红点代表报亭最佳位置）：图3图4七、结果分析、模型检验由图3-4所示的报亭最佳位置在题目提供的校区地形图标示如图5，再根据具体比例尺就可进行实际选址。

结合实际可知，这两处确为报亭的最佳位置。

首先它们皆处在所在区域人流量最大的位置，可以很好的满足该区域人群的需求，同时两者相距很远不会构成竞争关系，并且都与图书馆存在一定的距离，所以可获得较大盈利；其次，这两处与图书馆构成稳固的三角关系，覆盖面广，分布均衡，可以很好的满足全校教职工和学生的需求。

将该模型应用于作者所在学校报亭和本市的停车场等的选址，得出的结果与实际位置差别不大，可认为基本符合，可见该模型可广泛适用于此类多选址问题。

图5八、模型评价该模型能够很好的解决此类问题，使其既能满足多数人群的需要，又能获得不错的效益，而且设点布局均衡，使同行业之间的竞争不明显，从而资源得到优化配置，节约了社会成本，具有很强的现实意义。

但由于条件局限性，很难对各功能区每天的人数做统计，所以我们对该人数做出假设，即不考虑各功能区每天人数的变化；由于对该校的人数分布了解不足，无法确定各宿舍楼人数分布情况，所以我们假设各学生、教职工宿舍人数一样。

九、参考文献[1] 王晨, 陈峻, 沈小军( 东南大学交通学院, 江苏南京210096) 改进重心法在单个停车场选址中的应用现代交通技术 Vol.5 No.32007- 12- 21[2]陈峻, 刘东, 陈学武, 等.城市停车设施选址模型与遗传算法设计[ J] .中国公路学报, 2001, 14(1): 85- 86.[3] 陈峻, 王炜.城市社会停车场选址规划模型研究[ J] .公路交通科技, 2000, 17(1): 59- 62.[4] 魏光兴. 物流配送中心选址的一个离散模型研究[ J] .重庆交通学院学报, 2006, 25(4): 124- 127.[5] 杨茂盛, 李霞. 改进重心法在物流配送中心选址中的应用[6] .物流技术, 2007, 26(6): 60- 62.[7] 鲁晓春, 詹荷生. 关于配送中心重心法选址的研究[ J] . 北方交通大学学报, 24(6): 108- 110.[8] 凌镭, 李炜, 王炜, 等.停车场规划的多点区域分配——迭代寻优选址法[ J] . 土木工程学报, 2003, 36(7): 18- 21.[9] 申培萍.全局优化方法[M] .北京: 科学出版社, 2006.十、附录程序：1、1j，即1区（学生生活区）=function f=xuesheng(x)k=0.25;B1=9363;c=486.1;a=10;s=(k*B1)/a;f=k*B1*(sqrt((x(1)-1.34).^2+(x(2)-0.69).^2)+sqrt((x(1)-1.15).^2+(x(2) -1.56).^2)+sqrt((x(1)-1.01).^2+(x(2)-2.43)^2)+sqrt((x(1)-0.91).^2+(x( 2)-3.40).^2)+sqrt((x(1)-0.86).^2+(x(2)-4.46).^2)+sqrt((x(1)-3.39).^2+ (x(2)-1.20).^2)+sqrt((x(1)-2.71).^2+(x(2)-1.96).^2)+sqrt((x(1)-3.97). ^2+(x(2)-2.26).^2)+sqrt((x(1)-2.66).^2+(x(2)-2.87).^2))+c*s*(a*a+1); x=fminunc('xuesheng',[1 1])2、2j，即2区（教职工生活区）=function f=jiaoshi(x)k=0.25;B2=632;c=486.1;a=10;s=(k*B2)/a;f=k*B2*(sqrt((x(1)-2.33).^2+(x(2)-0.83).^2)+sqrt((x(1)-1.76).^2+(x(2) -1.97).^2)+sqrt((x(1)-1.53).^2+(x(2)-3.12)^2)+sqrt((x(1)-3.16).^2+(x( 2)-2.09).^2)+sqrt((x(1)-5.19).^2+(x(2)-2.59).^2)+sqrt((x(1)-6.84).^2+ (x(2)-3.10).^2)+sqrt((x(1)-8.37).^2+(x(2)-3.61).^2)+sqrt((x(1)-4.54). ^2+(x(2)-3.18).^2)+sqrt((x(1)-6.99).^2+(x(2)-3.89).^2)+sqrt((x(1)-8.5 7).^2+(x(2)-4.50).^2)+sqrt((x(1)-4.35).^2+(x(2)-4.07).^2)+sqrt((x(1)-6.64).^2+(x(2)-4.72).^2)+sqrt((x(1)-8.78).^2+(x(2)-5.25).^2)+sqrt((x( 1)-8.78).^2+(x(2)-6.84).^2))+c*s*(a*a+1);x=fminunc('jiaoshi',[1 1])报亭样图：图2。