专题13 圆的基本性质考纲要求:1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念.2．了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系. 3．能利用圆的有关概念、垂径定理、圆周角定理及其推论解决有关简单问题.基础知识回顾:知识点一：圆的有关概念1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：① 弧AC=弧AD;②弧BC=弧BD ；③CE=DE; ④AB ⊥CD;⑤AB 是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四 ：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ，∠A=12∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A=∠C.② 直径所对的圆周角是直角.如图c ，∠C=90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.应用举例:招数一、垂径定理及其推论【例1】13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )A ．26B ．210C ．211D ．43【答案】C【解析】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示： 则DF CF =，132AG BG AB ===，2EG AG AE ∴=-=，在Rt BOG ∆中，221392OG OB BG =-=-=，EG OG ∴=，EOG ∴∆是等腰直角三角形，45OEG ∴∠=︒，222OE OG ==，75DEB ∠=︒，30OEF ∴∠=︒，122OF OE ∴==，在Rt ODF ∆中，2213211DF OD OF =-=-=，2211CD DF ∴==；故选：C ．招数二、圆周角定理及推论【例2】如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是()A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】D．【解析】解：AB CD=，40AOB∠=︒，40COD AOB∴∠=∠=︒，180AOB BOC COD∠+∠+∠=︒，140BOC∴∠=︒，1702BPC BOC∴∠=∠=︒，故选：D．招数三、圆内接四边形的相关计算【例3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD ＝5，CE，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2【答案】D【解析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE2．故选：D．招数四、分类讨论在圆的基本性质计算中的应用【例4】半径为5的 O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB 于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______.【答案】5352或【解析】如图1，当∠BOD＝90°时，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BO＝OC＝5，∴BC＝52;如图2，当∠ODB＝90°时，∵OB＝OC，设∠OBC＝∠OCB＝x，∴∠BOD＝2x，∠BOC＝180°－2x，∴∠ABO＝90°－2x，∠ABC＝∠ACB＝90°－x，∴∠A＝2x，∵∠BOC＝2∠A，即180－2x＝2×2x，∴x＝30°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC＝5，∴BC＝53.综上所述，BC的长度为5352或图1 图2方法、规律归纳:1．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆或等圆中才成立.2．在圆中求角度时，通常需要通过圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.3．垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.实战演练:1.《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【答案】26.【解析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为26．2.如图，正△ABC 的边长为2，点A、B在半径为的圆上，点C在圆内，将正△ABC绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值为_____．【答案】【解析】如图，分别连接 OA、OB、OD；∵OA ＝OB ＝ ，AB ＝2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴∠OAB ＝45°；同理可证：∠OAD ＝45°，∴∠DAB ＝90°；∵∠CAB ＝60°，∴∠DAC ＝90°﹣60°＝30°，∴旋转角的正切值是 ， 故答案为：．3. 如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上的一点，则tan ∠OBC ＝（ ）A ．31B ．22 C ．322 D ．42【答案】D【解析】作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，则OD ＝42，cos ∠CDO ＝OCOD ＝322， 由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ，第8题图则cos ∠OBC ＝322，故选：D ．4.如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，AB BF =，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为 ．【答案】485【解析】连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，AB CD ⊥，132AE BE AB ∴===，设O 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =，在Rt OAE ∆中，2223(1)r r +-=，解得5r =，AB BF =，OB AF ∴⊥，AG FG =，在Rt OAG ∆中，2225AG OG +=，①在Rt ABG ∆中，222(5)6AG OG +-=，②解由①②组成的方程组得到245AG =，4825AF AG ∴==． 故答案为485． 5.在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的圆周角的度数为（ ）A. 90︒B. 145︒C. 90︒或270︒D. 135︒或45︒【答案】D【解析】试题解析：45AOC ∴∠=，同理45BOC ∠=， 90AOB AOC BOC ∴∠=∠+∠=， ∵∠AOB 与∠ADB 都对AB ，1452ADB AOB ∴∠=∠=， ∵大角270AOB ∠=， 135AEB ∴∠=， 则弦AB 所对的圆周角为45或135.故选D.6. 如图，AC 是⊙O 的弦，AC =5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC =45°，若点M 、N 分别是 AC 、BC 的中点，则 M N 的最大值是____________．【答案】52 2【解析】∵MN是△ABC的中位线，∴MN=12 AB．当AB为⊙O的直径时，AB有最大值，则MN有最大值．当AB为直径时，∠ACB=90°，∵∠ABC=45°，AC=5，∴AB=52，∴MN=522．7.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A. 2B. 1C. 2D. 22【答案】A∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=2OA=2×1=2，即PA+PB的最小值=2．故选A．8. 如图，在矩形中，，，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为__________．【答案】4解：连结EO并延长交CF于点H.∵矩形绕点旋转得到矩形，∴∠B′=∠B′CD′=90°，A′B′∥CD′，BC=B′C=4，∵A′B′切⊙O与点E，∴OE⊥A′B′，∴四边形EB′CH是矩形，∴EH=B′C=4，OH⊥CF，∵AB=5，∴OE=OC=AB=，∴OH=，在Rt △OCH 中，根据勾股定理得CH===2，∴CF=2CH=4.故答案为：4.9. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．（1）尺规作图：作BAC ∠的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；（2）探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）如图所示；（2）//OE AC ，12OE AC =．理由如下： AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠， 12BAD BOD ∠=∠，BOD BAC ∴∠=∠，//OE AC ∴， OA OB =，OE ∴为ABC ∆的中位线， //OE AC ∴，12OE AC =． 10. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，若点P 是直径AB 上的一动点，则PD+PC 的最小值为_____．【答案】10【解析】如图，作出点C关于AB的对称点C′，连接C′D，则C′D与AB的交点即为所求的点P，连接CP，C′D=PC+PD，∵AB是⊙O的直径，BC=CD=DA，∴∠B=××180°=60°，∵AD=BC，∴AB∥CD，∴∠BCD=120°，∴∠BCC′=×60°=30°，∴∠C′CD=120°-30°=90°，∴C′D为圆的直径，∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴PD+PC的最小值为10，故答案为：10．。