高等数学（下）模拟试卷二
一．填空题（每空3分，共15分）
z=
的定义域为；（1
）函数
xy
（2）已知函数z=e，则在(2,1)处的全微分dz=；
（3）交换积分次序，
⎰
e1
dx⎰
lnx0
f(x,y)dy
2
＝；
)点B(1,1)间的一段弧，
则（4）已知L是抛物线y=x上点O(0,0与之
⎰
=
（5）已知微分方程y''-2y'+y=0，则其通解为 .
二．选择题（每空3分，共15分）
⎧x+y+3z=0⎨
（1）设直线L为⎩x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππ
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
∂z=33
z=f(x,y)z-3xyz=a（2）设是由方程确定，则∂x（）； yzyzxzxy2222
A. xy-z
B. z-xy
C. xy-z
D. z-xy
（3）微分方程y''-5y'+6y=xe的特解y的形式为y=（）；
A.(ax+b)e
B.(ax+b)xe
C.(ax+b)+ce
D.(ax+b)+cxe （4）已知Ω是由球面x+y+z=a
三次积分为（）； A
2
2
2
2
2x
2x
2x
2x
2x
*
*
dv⎰⎰⎰所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成Ω
⎰
2π0
π2
dθ⎰sinϕdϕ⎰rdr
a
2
B.
⎰
2π0
π20
dθ⎰dϕ⎰rdr
a
a0
C.
⎰
2π0
dθ⎰dϕ⎰rdr
0∞
πa
D.
⎰
2π0
dθ⎰sinϕdϕ⎰r2dr
π
2n-1n
x∑
n
2（5）已知幂级数n=1，则其收敛半径
（）.
2 B. 1 C. 2 D.
三．计算题（每题8分，共48分）
1、求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程 . ∂z∂z
x+y
2、已知z=f(sinxcosy,e)，求∂x，∂y .
22
D={(x,y)x+y≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算3、设
⎰⎰arctan
D
y
dxdyx .
22
f(x,y)=x+5y-6x+10y+6的极值. 4、求函数
5、利用格林公式计算
⎰
L
(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy
，其中
222
L为沿上半圆周(x-a)+y=a,y≥0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. 3
yy'-=(x+1)2
x+16、求微分方程的通解.
四．解答题（共22分）
1、（1）（6'）判别级数n=1敛；
∑(-1)n-12nsin
∞
π
3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收
∞
xn∑(-1,1)'4（2）（）在区间内求幂级数n=1n的和函数 .
2、(12')利用高斯公式计算
z=x2+y2(0≤z≤1)的下侧
⎰⎰2xdydz+ydzdx+zdxdy
∑
，∑为抛物面
高等数学（下）模拟试卷二参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
} 2、edx+2edy 3、1、{(x,y)|y≤4x,0<x+y<1
22222
⎰
10
dy⎰yf(x,y)dx
e
e
1
1)x
4
、12 5、y=(C1+C2x)e 二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B3. B 4.D5. A
三、计算题（每题8分，共48分）
1、解： A(0,2,4)
→
n1={1,0,2}n2={0,1,-3} 2'
→
→
→→
i
s=n1⨯n2=1
→
→
j0
→
k
→→→
2=-2i+3j+k
6'
01-3
xy-2z-4==
31 8' ∴直线方程为-2
2、解：令u=sinxcosy
v=ex+y 2'
f1'⋅cosxcosy+f2'⋅ex+y
6' 8'
∂z∂z∂u∂z∂v
=⋅+⋅=∂x∂u∂x∂v∂x
∂z∂z∂u∂z∂v=⋅+⋅=∂y∂u∂y∂v∂y f1'⋅(-sinxsiny)+f2'⋅ex+y
3、解：
D:0≤θ≤
π
4
0≤r≤1
， 3'
π
1yπ2
4
∴⎰⎰arctandxdy=⎰⎰rθdrdθ=⎰θdθ⎰rdr=
00x64 8' DD
⎧⎪fx(x,y)=2x-6=0⎨
⎩fy(x,y)=10y+10=0 得驻点(3,-1) 4' 4．解：⎪
A=fxx(x,y)=2,B=fxy(x,y)=0,C=fyy(x,y)=10 6'
A=2>0,AC-B2=20>0∴极小值为f(3,-1)=-8 8' 5．解：
P=ex
siny-2y,Q=excosy-2，
∂P
=excosy-2,∂Q
有∂y
∂x=excosy,2'
取A(2a,0),
OA:y=0,x从0→2a 4' ∂Q∂ ⎰LPdx+Qdy+Pdx+Qdy=⎰⎰(-P)dxdy=D∂x∂y ⎰⎰2dxdy=πa2
D ∴原式＝πa2－⎰Pdx+Qdy＝πa2-0=πa2 8'
P=-13
,Q=(x+1)2
6．解：x+1 2'
-)dx
P(x)dx
131
∴⎰
P(x通解为
y=e[⎰Q(x)e⎰
dx+C]=e⎰x+1dx[⎰(x+1)2
e-⎰x+1dxdx+C]
1
=(x+1)[⎰(x+1)2
dx+C]=(x+1)[23
(x+1)2
+C]
3 四、解答题
u2n+1sin
π
unπlimn+1n→∞u=lim=2<1、解：（1）令
n=(-1)n-12sinnn→∞31
3n2nsin3n
4' ∞∴∑2n
sinπ∞
πn=1
3n∴∑(-1)n-12nsin收敛， n=13n
绝对收敛6' ∞
s(x)=（2）令
∑
xnn=1n
∞
s'(x)=∑⎛n'∞ x⎫⎪=n=1⎝n⎭∑xn-1=
1n=1
1-x， 2' ⇒s(x)=⎰x
s'(x)dx+s(0)=-ln(1-x)
4'
2、解：构造曲面
∑ 1:z=1,上侧
⎰⎰2xdydz+ydzdx+zdxdy+∑
⎰⎰2xdydz+ydzdx+zdxdy
∑1
2'
6'
4'
8'
=⎰⎰⎰(2+1+1)dv=4⎰⎰⎰dv=4⎰ΩΩ2π0dθ⎰rdr⎰2dz=8π1(1-r2)rdr=2π0r⎰011 4' 6' 8' ∴I=2π-⎰⎰2xdydz+ydzdx+zdxdy
∑1 10'
=2π-⎰⎰dxdy=π
Dxy 12'。