河北工程大学高等数学同步练习
第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念
1. 求定义域 (1){(x,y )
1
xy e e
≤≤}； (2)2k Z k k y x ∈,1+2≤+≤22； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.
2.求极限
(1)00
1)2x y →→+=;
(2)0 ;
(3)22
2
2200
2sin
2lim 0()xy
x y x y x y e →→+=+; (4)20
sin cos lim
.2x y xy xy
x xy →→=.
3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值
(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222
2222
01lim 1x x k x k x k x k →--=++,不存在;
(2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y
,极限为0，不存在 ;
(3)2222222211
00x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .
4.因当220x y +≠时，
22
2
2220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0
lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.
第二节 偏导数
1. 求下列函数的偏导数
(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2
2()
1()x y x y --+-.
2.
6
π.
3.11(11x
y =+-==. 4.
1
2
2222
2222222222
2222222222
2222
1
ln()
ln(),
2
12.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y
z x y x x y x x y x y z y x y x y -
=+=-+∂=-=-∂++∂+--=-=∂++∂-=∂+
5.
22
2202
01
0sin
,
lim (,)0(0,0),1sin
00lim 1
0sin 0
0(0,0)lim 0x y x y x x x y f x y f x f x x x
f y y y
→→∆→∆→≤≤+==∆-∂∆+=∂∆-∂+∆==∂∆因为所以连续.
（0，0），不存在，
.
第三节 全微分
1. 求下列函数的全微分 解：(1)
2
1z z dz dx dy x y x dx ∂∂=+∂∂-==+
.
(2)
1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y z
yzx dx zx xdy yx xdz -∂∂∂=
++∂∂∂=++.
2.解：
3322
22222200
3333
2222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 1
1
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f y x y
x f f x y x y x x y x y y x y z x y →→∆→∆→+≤=+≤+→→+++==+∆∆+--+∆∆+====∆∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆-∆∆∆==∆+∆.
所以连续.
两个偏导数都存在，为22222
2211(0,0)0,.x y x y x y
x y x y x y y x ρρ→→-∆∆∆∆+∆∆=∆+∆-∆+∆∆+∆=→==
≠当沿时，故不可微。