k
（可列并运算封闭）；
1. 定是集代数； ，有 Ak （可列交运算封闭） 2. 若 Ak k
k 1
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第一节 集合代数和σ -代数
设Ω是一非空集合， 是由Ω的一切子集组
成的集合类，则 是一个σ-代数。
定义1.1.2 设Ω是任一非空集合， 是由Ω的一些子集组成的非空 集合类，若Æ 满足：
1. ；
2. 若A ，有 A （余运算封闭）； 3. 若 Ak k ，有 则称是Ω上的一个σ-代数。 定理1.1.2 设是σ-代数，则：
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第一节 集合代数和σ -代数
定义1.1.3 称定理1.1.3中的0是包含的最小σ -代数，或 者是由生成的σ -代数，记为σ ()。 例1.1.2 设 A ，且 A , A ，则包含{A}的最小 σ -代数为 A, A, , 三、Borel域
P Ak P Ak k 1 k 1


（可列可加性）
称 P A 为事件A的概率
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第一章 概率空间
在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间Ω的子 集，即 A ，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都 是一个随机事件？（举例说明） 若把 A P A 看作集合A的函数，那么象高等数学里的普 通函数一样，我们必须考虑A在什么范围内， P A 才有定义？这 是初等概率论的遗留问题。为此，我们考虑以事件A为元素的 集合，称为集合类或事件体，记作 。
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第一章 概率空间
概率的定义——若对 E 的每一个事件A，有一个实数 与之对应，记为 P A ，且满足：
1. 0 P A 1 （非负性）
~
2. P 1 （归一性） 3. 若事件 A1, A2 , 两两互不相容，则有


。
设 R (1) ，考虑由 R (1) 的一些子集组成的集合类： 1 , a : a R ，称σ ()为 (1) 上的Borel域，



R
记为(1) ，并称(1) 中的元素为一维的Borel集。
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第一节 集合代数和σ -代数
推广情形：设 R(n) x1, x2 , xn : xi R(1) , i 1,2,n 为n维 实数空间，考虑由 R ( n ) 的一些子集组成的集合类：


n 1 , ai : ai R , i 1,2,n i 1
例1.1.1 设Ω=R，则：
n A R , A A , A , A , A 形如 a , b R , a b k 1 2 n k 1

则为集代数。
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.5 σ -代数是单调类；若一集代数是单调类，则它是σ 代数。 n 证明：若An
，令Bn Ak
k 1
，又Bn ，则 因是集代数，故 Bn
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B
n 1

n

的结构？在上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主 要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
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第一节 集合代数和σ -代数
一、集合代数和σ -代数
定义1.1.1 设Ω是任一非空集合， 是由Ω的一些子集组成 的非空集合类，若满足： 1. Ω ； 2. 若A ，有 A （余运算封闭）； 3. 若A, B ∈，有
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n 1
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.4 设Ω是任一非空集合， 是由Ω的一些子集组成的非 空集合类，则存在唯一的Ω 上的单调类 ，满足： 0 1. 0
0 2. 对包含Ģ的任一单调类，有 称这样的单调类 0 为包含的最小单调类，记为 （）
概率论与随机过程
唐碧华 学时数：60
教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北京邮电大学出版社
参考书： 1. 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社
2. 林元列，《应用随机过程》，清华大学出版社
3. 刘嘉焜等， 《应用随机过程》，科学出版社 4. 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社
第一章 概率空间
首先，回顾初等概率论的一些基本概念： ~ 随机试验 E ，满足如下条件： 1. 在相同条件下可重复进行； 2. 一次试验结果的随机性——不可预知性； 3. 全体可能结果的可知性。 ~ 样本空间Ω——随机试验 E 所有可能的结果组成的集合。 样本点 ——Ω中的元素。 随机事件——样本空间Ω的子集合，称为事件。 基本事件——Ω中每个样本点所构成的单点集。 必然事件——Ω本身。 不可能事件——不包含任何元素的空集合Φ 。
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概率论与随机过程
知识从哪里来?
必然性、偶然性
知识是什么?
概率论与随机过程：随机性、变化过程
知识到哪里去?
如何运用概率论与随机过程的理论知识解决通信 中的实际问题？
举例说明
..\2004\应用举例.ppt
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A B （有限并运算封闭）；
则称是Ω上的一个集合代数，简称集代数。
容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.1 设是由Ω的一些子集组成的非空集合类，则： 1. 是由Ω的集代数 是包含Ω且对余运算和有限交运算封 闭； 2. 是由Ω的集代数 是包含Ω且对差运算封闭。 证明可简单阐述。
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.6 若是集代数，则： σ ()=
()
证明：σ -代数一定是单调类，则σ ()
因此只须证明
()
()是一σ -代数。
由于集代数+ 单调类 σ -代数 ，所以只须证明它 是集代数即可
1.
2的证明如下
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，有A \ B 2.若A，B
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第一节 集合代数和σ -代数
证明：对任意的A
()，令辅助集合类

，A \ B, B \ A A B : B
A 若能证明对每一个A ()，有：
即对差运算封闭 不妨分二步加以说明：
1、 A 是 单 调 类 2、 A 是 包 含 A的 最 小 的 单 调 类 下面主要分析 A为 何 是 单 调 类 ， 见 P4
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若 A ，且 A , A ，则集合类 A, A, ,


是一个σ-代数。
显然，集代数的交仍是集代数； σ代数的交 仍是σ-代数。
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第一节 集合代数和σ -代数
二、包含某一集合类的最小σ -代数
是由Ω的一些子集组成的非空集合类，那么至少 存在一个σ -代数包含 。为什么？ 由于 是一个σ -代数，且 。 是否存在最小的σ -代数？若存在，是否唯一？
称σ ()为 R ( n ) 上的Borel域，记作（n） 。
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第一节 集合代数和σ -代数
四、单调类和λ -系、π -系
实际问题中要检验一个集合类是否为σ -代数比较困难，但把 集代数与单调类结合起来讨论，会使问题简化。 定义1.1.4 设由Ω的一些子集组成的非空集合类，且满足：
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第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.3 设Ω是任一非空集合， 是由Ω的一些子集组成的非 空集合类，则存在唯一的σ -代数0，满足： 1. 0；
2. 对包含的任一σ -代数，有0 证明：作*所有包含的σ -代数的交，下面说明这样构成的 *即为包含的最小的σ -代数。由构造性可知它不仅存在而 且唯一。 由于σ -代数的交仍为σ -代数，所以*为包含的σ -代 数。 由构造，则可知其最小性。
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教学安排
上课时间共16次
9月13、20、27日 10月11、18、25日 11月1、8、15、22、29日 12月6、13、20、27日 1月3日
考试时间：拟定1月17日或19日
电子讲稿网址： http://202.112.11.120/《教学园地》栏
n 1
， ， A2 以 后 表 为 An ， 则 An 1. 若An
， ， A2 以后表为 An ，则 An 2. 若An

称是Ω上的一个单调类。 容易证明，单调类的交仍是单调类。