第四章 刚体的定轴转动4–1 半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm 的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速度转动，在4s 被动轮的角速度达到π/s 8，则主动轮在这段时间转过了 圈。

解：被动轮边缘上一点的线速度为πm/s 45.0π8222=⨯==r ωv在4s 主动轮的角速度为πrad/s 202.0π412111====r r v v ω 主动轮的角速度为2011πrad/s 540π2==∆-=t ωωα 在4s 主动轮转过圈数为20π520ππ2(π212π212121=⨯==αωN （圈） 4–2绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为0ω＝5rad/s ，t ＝20s 时角速度为08.0ωω=，则飞轮的角加速度α＝ ，t ＝0到t ＝100s 时间飞轮所转过的角度θ＝ 。

解：由于飞轮作匀变速转动，故飞轮的角加速度为 20s /rad 05.020558.0-=-⨯=-=t ωωα t ＝0到t ＝100s 时间飞轮所转过的角度为rad 250100)05.0(21100521220=⨯-⨯+⨯=+=t t αωθ 4–3 转动惯量是物体 量度，决定刚体的转动惯量的因素有 。

解：转动惯性大小，刚体的形状、质量分布及转轴的位置。

4–4 如图4-1，在轻杆的b 处与3b 处各系质量为2m 和m 的质点，可绕O 轴转动，则质点系的转动惯量为 。

解：由分离质点的转动惯量的定义得 221i i i r m J ∆=∑=22)3(2b m mb +=211mb = 4–5 一飞轮以600r/min 的转速旋转，转动惯量为2.5kg·m 2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在1s 停止转动，则该恒定制动力矩的大小M ＝_________。

解：飞轮的角加速度为20s /rad 20160/π26000-=⨯-=-=t ωωα 制动力矩的大小为 m N π50π)20(5.2⋅-=-⨯==αJ M负号表示力矩为阻力矩。

图4-1 m 2mb3bO4–6 半径为0.2m ，质量为1kg 的匀质圆盘，可绕过圆心且垂直于盘的轴转动。

现有一变力F =5t （SI ）沿切线方向作用在圆盘边缘上，如果圆盘最初处于静止状态，那么它在3秒末的角加速度为 ，角速度为 。

解：圆盘的转动惯量为222m kg 02.0)2.0(12121⋅=⨯⨯==mR J 。

3秒末的角加速度为 s rad 303101002.052.0/t t J M =⨯==⨯==α 由 t t d d 10ωα== 即t t d 10d =ω对上式积分，并利用初始条件：0=t 时，00=ω，得⎰⎰=300d 10d t t ωωs /rad 45=ω4–7 角动量守恒定律成立的条件是 。

解：刚体（质点）不受外力矩的作用或所受的合外力矩为零。

4–8 以下运动形态不是平动的是[ ]。

A ．火车在平直的斜坡上运动B ．火车在拐弯时的运动C ．活塞在气缸的运动D ．空中缆车的运动解：火车在拐弯时，车厢实际是平动和转动的合成，故不是平动，应选（B ）。

4–9 以下说法错误的是[ ]。

A ．角速度大的物体，受的合外力矩不一定大B ．有角加速度的物体，所受合外力矩不可能为零C ．有角加速度的物体，所受合外力一定不为零D ．作定轴（轴过质心）转动的物体，不论角加速度多大，所受合外力一定为零解：角速度大的物体，角加速度不一定大，由于αJ M =，所以它所受的合力矩不一定大；如果一个物体有角加速度，则它一定受到了合外力矩的作用；合外力矩不等于零，不等于所受的合力一定不为零，如物体受到了一个大小相等，方向相反而不在一条直线上的力的作用；当物体作定轴（轴过质心）转动时，质心此时的加速度为零，根据质心运动定律，它所受的合外力一定零。

综上，只有（C ）是错误的，故应选（C ）。

4–10 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：[ ]（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；（2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；（3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；（4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。

在上述说法中A ．只有（1）是正确的B ．（1）、（2）正确，（3）、（4）错误C ．（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误D ．（1）、（2）、（3）、（4）都正确解：这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的矩都为零，自然合力矩为零，故（1）正确；当两个力都垂直于轴作用时，如果两个力大小相等、方向相反，作用在物体的同一点，则它们的合力矩为零，或两个力都通过转轴，两力的力矩都等于零，合力矩也等于零，但如两力大小不等，方向相反，也可通过改变力臂，使两力的合力矩为零，如此时力臂相同，则合力矩不等于零，因此（2）也时正确的；当这两个力的合力为零时，还要考虑力臂的大小，所以合力矩不一定为零，故（3）是错误的；两个力对轴的合力矩为零时，因F r M ⨯=，所以它们的合力不一定为零，故（4）也是错误的。

故答案应选（B ）。

4–11 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动。

如图4-2所示，射来两个质量相同、速度的大小相同而方向相反，并在同一条直线上的子弹。

子弹射入并且停留在圆盘，则子弹射入的瞬间，圆盘的角速度ω与射入前角速度0ω相比[ ]。

A ．增大B ．不变C ．减小D ．不能确定解：设射来的两子弹的速度为v ，对于圆盘和子弹组成的系统来说，无外力矩作用，故系统对轴O的角动量守恒，即ωωJ J d m d m =+-00v v 式中d m v 这子弹对点O 的角动量，0J 为子弹射入前盘对轴O 的转动惯量，J 为子弹射入后系统对轴O的转动惯量。

由于J J <0，则0ωω<。

故选（C ）。

4–12 如图4-3所示，有一个小块物体，置于一个光滑水平桌面上。

有一绳其一端连接此物体，另一端穿过中心的小孔。

该物体原以角速度ω在距孔为r 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体[ ]。

A ．角速度减小，角动量增大，动量改变B ．角速度不变，动能不变，动量不变C ．角速度增大，角动量增大，动量不变D ．角速度增大，动能增加，角动量不变解：在拉力绳子的过程中，力对小球的力矩为零，故小球的角动量在转动过程中不变，有2211ωωJ J =。

当小球的半径减小时，小球对O 点的转动惯量减小，即21J J >，故22ωω>，角速度增大，小球转得更快。

又由2211ωωJ J =可得2211r m r m v v =，因21r r >，所以12v v >，故小球的动能增加，小球的动量也要发生变化。

故选（D ）4–13 有一半径为R 的水平圆转台，可绕过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J 。

开始时，转台以角速度0ω转动，此时有一质量为M 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去。

当人到达转台边缘时，转台的角速度为[ ]。

A ．20MR J J +ω B ．20)(R M J J +ω C ．20MR J ω D ．0ω解：人站在转台中心时，他相对于转台中心的角动量为零。

当人沿半径向外跑去，到达O图4-2图4-3 F r O转台边缘的过程中，不受外力矩作用，人和转台组成的系统角动量守恒，由于人是沿半径方向走，故人和转台的角速度相同，相对于转台中心有角动量2R M R M ω=v 。

根据角动量守恒，可列方程得20R M J J ωωω+=故20MR J J +=ωω所以应选（A ）。

4–14 一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用，若两质点所受外力矢量和为零，则此系统[ ]。

A ．动量、机械能、角动量均守恒B ．动量、机械能守恒，角动量不守恒C ．动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能断定D ．动量、角动量守恒，但机械能是否守恒不能断定解：由于两质点系所受的合外力为零，故系统的动量守恒。

当质点所受的合外力不是共点力时，尽管两质点所受的合外力矢量和为零，但力矩不为零，则物体将转动，从而改变系统的机械能和角动量，而当质点所受的合外力为共点力，且外力矢量和为零时，质点所受的力矩将为零。

则系统的机械能和角动量将守恒，所以，应选（C ）。

4–20 两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。

小圆盘的半径为r ，质量为m ；大圆盘的半径r '＝2r ，质量m '＝2m 。

组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O 转动，对O 轴的转动惯量J ＝9mr 2/2。

两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m 的物体A 和B ，如图4-7所示。

这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变。

已知r =10cm 。

求：（1）组合轮的角加速度；（2）当物体A 上升h ＝40cm 时，组合轮的角速度。

解：（1）各物体受力情况如图4–8。

A 、B 看成质点，应用牛顿第二定律。

滑轮是刚体，应用刚体转动定律，得α 图4-8图4-7ma mg T =-a m T mg '='-αJ Tr r T =-''222292121mr mr r m J =+''=又因绳与盘无相对滑动，故有αr a = αr a '='由上述方程组，代入题给已知条件可得2s /rad 3.10192==rg α （2）设θ为组合轮转过的角度，则 rad 41.04.0===r h θ 所以组合轮的角速度为s /rad 08.943.1022=⨯⨯==αθω4–24 如图4-14所示，A 和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为2m kg 10⋅=A J 和2m kg 20⋅=B J ，开始时，A 轮转速为600转/分，B 轮静止，C 为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计，A 、B 分别与C 的左、右两个组件相连，当C 的左右组件啮合时，B 轮加速而A 轮减速，直到两轮的转速相等为止。

设轴光滑，求：（1）两轮啮合后的转速n ；（2）两轮各自所受的冲量矩。

解：选A 、B 两轮为系统，合外力矩为零，系统角动量守恒，有()ωωB A A A J J J +=s rad 9.20/J J J B A A A =+=ωω 200π2==ωn r/minA 轮所受的冲量矩为()s m N 1019.4d 2⋅⋅⨯-=-=⎰A A A J t M ωω负号表示冲量矩与A ω方向相反。

B 轮所受的冲量矩： ()s m N 1019.4d 2⋅⋅⨯=-=⎰B B B J t M ωω正号表示冲量矩与A ω方向相同。

4–26 如图4-15所示，一质量M ，半径为R 的圆柱，可绕固定的水平轴O 自由转动。