这样的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程．
例如 y 2 y 3 y 0 是二阶常系数齐次线性微分
方程； y 2 y y xex 是二阶常系数非齐次线性微分 方程．
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
1．二阶常系数齐次线性微分方程解法
y C或 cot (y C1 )dy
dx
该微分方程的通解是 y C1 ) C2e x sin(
y C或ln(sin(y C1 )) x ln C2
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶的通解是 2 1 x 3
0
1 x y ' 1 y ' 2 dx a 0
取原点O到点A的距离为定值 a 于是有
1 y' ' 1 y '2 a y (0) a, y (0) 0
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
a 2C1 2 1 p 将初始条件 y ' (0) p(0) 0 代入①式，解得
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
*
( 2) 的 一 个
特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么
y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
课题二十一 简单的二阶微分方程
3. y f ( y, y) 型的微分方程 方程的特点：右端不显含自变量 x .
方程的解法：求解这类方程可令 y p ( y ) 则 dy dp ( y ) dy dp y p, dx dy dx dy dp 于是,方程 y f ( y, y) 可化为 p f ( y, p ) . dy 这是关于 y 和 p 的一阶微分方程,如能求出其解 dy p ( y, C1 ) ,则可由 ( y, C1 ) 求出原方程的解. dx
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
[例 3] 求方程yy
解
y 0的通解.
2
设 y P( y ),
dP 则 y P , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dP 由 y P 0， 可得 P C1 y , dy
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个 线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0的两个特解是y1 cos x, y2 sin x,
y2 且 tan x 常数, 则其通解是y C1 cos x C2 sin x. y1
ln(1 p 2 ) ln x ln C1 ，得1 p 2 C1 x .
即 p C1 x 1, 也即 y C1 x 1 .
2 y (C1 x 1) dx (C1 x 1) C2 . 3C1
1 2
3 2
第七章
微 分 方 程
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2 ,
y sin x 1 C1x2 C2 x C3. 2
y ( cos x C1 x C2 )dx,
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
2. y f ( x, y ) 型的微分方程
问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
定义：设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 I 内的 n 个函数． 如果存在 n个不全为零的常数， 使得当 x 在 该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0，
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
1. y ( n) f ( x) 型的微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
[例 1] 求方程 y ( 3) cos x 的通解.
解
y
( 3)
cos x, y cos xdx sin x C1,
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
【授课时数】 总时数：6学时. 【学习目标】 1、知道二阶微分方程的概念； 2、会求可降阶的二阶微分方程、二阶常系数线性 齐次和非齐次微分方程的通解或特解。 【重、难点】 重点：可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微 分方程的定义和解法，由微积分知识引出。 难点：正确求解可降阶的二阶微分方程和二阶常系 数线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
三、二阶常系数线性微分方程
形如 y py qy 0, ( p, q均为常数) 这样的 微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．
形如 y py qy f ( x), ( p, q为常数, f ( x) ／ 0)
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
y 1 ( y ) 2 的通解. [例 2] 求方程 2 xy 解 令 y p (x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方 2 xpp 1 p 2 , 程,得
2 pd p d x , 两边积分得 分离变量得 2 1 p x
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f (x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
2． y 1 y2 的通解是
C1 x y C1 x C2 3
；
y ln cos( x C1 ) C2
．
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
二、二阶线性微分方程
[引例] 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有 一个初始速度 v 0 0,物体便离开平衡位置,并在平 衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律
方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法： 令 y p(x) ,则 y p(x), 将它们
代入方程得
p( x) f ( x, p( x))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p (x) 的 一阶微分方程,若可以求出其通解 p (x,C1) ,则 y ( x, C1 ) 再积分一次就能得原方程的通解.
那么称这 n个函数在区间 I 内线性相关；否则 称线性无关．
例如 当x ( , )时， e x， x , e 2 x 线性无关; e
1， 2 x , sin2 x 线性相关. cos
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x 1 a C1 a dp 1 e e ① dx ，两端积分，得 p 2
x x
1 a 1 C1 1或C1 1(舍). 再将 C1 代入①式，得 p (e e a ), x x 2 a a 将 p y ' 代入上式，并积分得 y (e e a ) C2 ② 2 将初始条件 y (0) a 代入②式，解得 C2 0,
若受到铅直干扰力 F h sin pt, 则
d 2x dx 2n k 2 x h sin pt 强迫振动的方程 dt 2 dt
对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
1．二阶线性微分方程的定义
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 这样的微分方程 形如 2 dx dx
解得曲线方程为 将 C 2 0 代入②式，
a y (e e ). 2
x a

x a
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
f ( x)
小结
1.可降阶的高阶微分方程
y
(n)
两边同时积分n次
2.不显含y的二阶微分方程
y f ( x, y)
令y p , y p
3.不显含x的二阶微分方程
y f ( y, y)
2
dy d y dp 令 p( y ) , 则 p( y ) 2 dx dx dy
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
思考题
y ( y ) 3 y 的通解. 求微分方程
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
dy C1 y , dx
由 P y 0, 得 y C ,
C x 原方程通解为 y C2e 1 .
第七章
微 分 方 程
课题二十一 简单的二阶微分方程
[例 4] 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳 索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时 是怎样的曲线．
分析
设绳索的最低点为 A，取 y 轴过点 A 且垂 直向上，取 x 轴水平向右，且|OA|等于某个定 值．设绳索曲线的方程为 y f (x) ，现在考察 绳索上点 A 到另一点 M(x,y)间的一段弧 AM， 设其长 S．假定单位长绳索的重量为ρ ，则弧 AM 的重量为ρ S．由于绳索是柔软的，因而在 点 A 处的张力沿水平切线方向，其大小设为 H． 在点 M 处的张力沿该点处的切线方向， 与水 平线成θ 角，其大小设为 T，因作用于弧段 AM 的外力相互平衡。下面给出解法．