第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数
非齐次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程 方程
y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数
如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解
我们看看 能否适当选取r 使y
e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程
y
py qy 0 得
(r 2pr q )e rx 0
由此可见 只要r 满足代数方程r
2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y
py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式
2
422,1q p p r -±+-= 求出
特征方程的根与通解的关系
(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解
这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x
r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为
x r x r e C e C y 2121+=
(2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解
这是因为 x r e y 11=是方程的解 又
x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''
0)()2(121111
=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x
r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为
x r x r xe C e C y 1121+=
(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e (
i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos
x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解
函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e (
i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x )
y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα
y 1y 2
2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解
可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为
y e x (C 1cos x C 2sin x )
求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程
r2pr q0
第二步求出特征方程的两个根r1、r2
第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解。