教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypy qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程y py qy 0得(r2pr q )e rx 0由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解特征方程 方程r2pr q 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1qp p r -±+-= 求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为函数xr ey 11=、xr ey 22=是方程的解 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 xr x r e C e C y 2121+=(2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数 因此方程的通解为 xr x r xe C e C y 1121+=(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e (i )x、y e(i )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e xcos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e(i )x和y 2e(i )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (i )xe x (cos x i sin x ) y 2e(i )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e x cos x 、y 2e xsin x 也是方程解可以验证 y 1e xcos x 、y 2e xsin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为y e x(C1cos x C2sin x )求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程r2pr q0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1 求微分方程y2y3y0的通解解所给微分方程的特征方程为r22r30即(r1)(r3)0其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为y C1e x C2e3x例2 求方程y2y y0满足初始条件y|x04、y|x02的特解解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)20其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y(C1C2x)e x将条件y|x04代入通解得C14从而y(4C2x)e x将上式对x求导得y(C24C2x)e x再把条件y|x02代入上式得C22于是所求特解为x(42x)e x例 3 求微分方程y2y5y 0的通解解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112i r212i是一对共轭复根因此所求通解为y e x(C1cos2x C2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n) p1y(n1)p2 y(n2) p n1y p n y0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2 p n1p n都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n p1D n1p2 D n 2 p n1D p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n p1D n1p2 D n 2 p n1D p n)y0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n p1r n1p2 r n 2 p n1r p n)e rx L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n p1r n1p2 r n 2 p n1r p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Ce rx一对单复根r12i对应于两项e x(C1cos x C2sin x)k重实根r对应于k项e rx(C1C2x C k x k1)一对k重复根r12i对应于2k项e x[(C1C2x C k x k1)cos x( D1D2x D k x k1)sin x]例4 求方程y(4)2y 5y 0 的通解解 这里的特征方程为 r42r35r20 即r 2(r22r 5)0它的根是r 1r 20和r 3 412i因此所给微分方程的通解为y C 1C 2x e x(C 3cos2x C 4sin2x )例5 求方程y(4)4y0的通解 其中解 这里的特征方程为 r44它的根为)1(22,1i r ±=β)1(24,3i r ±-=β因此所给微分方程的通解为)2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程 方程y py qy f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p 、q 是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y y *(x )之和y Y (x ) y *(x )当f (x )为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f (x )P m (x )e x型当f (x )P m (x )e x时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为y *Q (x )ex将其代入方程 得等式Q (x )(2p )Q (x )(2p q )Q (x )P m (x )(1)如果不是特征方程r2pr q0 的根则2p q0要使上式成立Q(x)应设为m次多项式Q m(x)b0x m b1x m1b m1x b m通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1b m并得所求特解y*Q m(x)e x(2)如果是特征方程r2pr q0 的单根则2p q0但2p0要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2p q)Q(x)P m(x)成立Q(x)应设为m 1 次多项式Q(x)xQ m(x)Q m(x)b0x m b1x m1b m1x b m通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1b m并得所求特解y*xQ m(x)e x(3)如果是特征方程r2pr q0的二重根则2p q02p0要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2p q)Q(x)P m(x)成立Q(x)应设为m2次多项式Q(x)x2Q m(x)Q m(x)b0x m b1x m1b m1x b m通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1b m并得所求特解y*x2Q m(x)e x综上所述我们有如下结论如果f(x)P m(x)e x则二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)有形如y*x k Q m(x)e x的特解其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 例1 求微分方程y2y3y 3x 1的一个特解解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f (x )是P m (x )e x型(其中P m (x )3x 10)与所给方程对应的齐次方程为y2y 3y 0它的特征方程为r 22r 30由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为y *b 0x b 1把它代入所给方程 得3b 0x 2b 03b 13x 1比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 3b 03 2b 03b 11由此求得b 01311=b 于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y例2 求微分方程y5y6y xe 2x的通解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f (x )是P m (x )ex型(其中P m (x )x2)与所给方程对应的齐次方程为y5y 6y 0它的特征方程为r 25r 60特征方程有两个实根r 12 r 23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y C 1e 2x C 2e 3x由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为y *x (b 0x b 1)e 2x把它代入所给方程 得 2b 0x 2b 0b 1x比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b 2b 01 2b 0b 10由此求得210-=b b 11 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=提示y *x (b 0x b 1)e 2x (b 0x 2b 1x )e 2x[(b 0x 2b 1x )e 2x ][(2b 0x b 1)(b 0x2b 1x )2]e 2x[(b 0x 2b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0x b 1)2(b 0x 2b 1x )22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x2b 1x )e 2x ]5[(b 0x2b 1x )e 2x ]6[(b 0x2b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0x b 1)2(b 0x2b 1x )22]e 2x 5[(2b 0x b 1)(b 0x 2b 1x )2]e 2x 6(b 0x 2b 1x )e2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0xb 1)]e 2x [2b 0x 2b 0b 1]e 2x方程ypy qy e x [P l (x )cos x P n (x )sin x ]的特解形式应用欧拉公式可得e x [P l (x )cos x P n (x )sin x ]]2)(2)([ ie e x P e ex P e x i x i n x i xi lx ωωωωλ---++= x i nlx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=其中)(21)(i P P x P n l -= )(21)(i P P x P n l += 而m max{l n }设方程ypy qy P (x )e (i )x的特解为y 1*x kQ m (x )e(i )x则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解 其中k 按i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1于是方程ypyqy e x [P l (x )cos x P n (x )sin x ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= x ke x[R(1)m(x )cos x R (2)m (x )sin x ]综上所述 我们有如下结论 如果f (x )ex[P l (x )cos x P n (x )sin x ] 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypy qy f (x )的特解可设为y *x k e x [R (1)m (x )cos x R (2)m (x )sin x ]其中R(1)m(x )、R(2)m(x )是m 次多项式 m max{l n } 而k 按i (或i )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 例3 求微分方程yy x cos2x 的一个特解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f (x )属于e x[P l (x )cos xP n (x )sin x ]型(其中0 2 P l (x )x P n (x )0）与所给方程对应的齐次方程为yy 0它的特征方程为r 210由于这里i 2i 不是特征方程的根 所以应设特解为y *(ax b )cos2x (cx d )sin2x把它代入所给方程 得(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 3d 4a )sin2xx cos2x比较两端同类项的系数 得 31-=a b0 c 0 94=d于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=提示y *(ax b )cos2x (cx d )sin2x y *a cos2x 2(axb )sin2xc sin2x 2(cxd )cos2x(2cx a 2d )cos2x (2ax 2b c )sin2xy *2c cos2x2(2cx a 2d )sin2x 2a sin2x 2(2ax 2b c )cos2x (4ax4b4c )cos2x(4cx 4a 4d )sin2xy *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a b 0 c 0 94=d。