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第八章 静电场中的导体和电介质

103第八章 静电场中的导体和电介质一、基本要求1.理解导体的静电平衡,能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。

2.了解两种电介质极化的微观机制,了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系,了解各向同性电介质中的高斯定理。

3.理解电容的概念,能计算简单几何形状电容器的电容。

4.了解电场能量、电场能量密度的概念。

二、本章要点 1.导体静电平衡导体内部场强等于零,导体表面场强与表面垂直;导体是等势体,导体表面是等势面。

在静电平衡时,导体所带的电荷只能分布在导体的表面上,导体内没有净电荷。

2.电位移矢量在均匀各向同性介质中E E D r εεε0==介质中的高斯定理∑⎰⎰=⋅ii sQ s d D 自3.电容器的电容UQ C ∆=电容器的能量CQ W 221=4.电场的能量 电场能量密度D E w ⋅=21 电场能量⎰=VwdV W三、例题8-1 下列叙述正确的有(B)(A)若闭合曲面内的电荷代数和为零,则曲面上任一点场强一定为零。

(B)若闭合曲面上任一点场强为零,则曲面内的电荷代数和一定为零。

104 (C)若闭合曲面内的点电荷的位置变化,则曲面上任一点的场强一定会改变。

(D)若闭合曲面上任一点的场强改变,则曲面内的点电荷的位置一定有改变。

(E)若闭合曲面内任一点场强不为零,则闭合曲面内一定有电荷。

解:选(B )。

由高斯定理⎰⎰∑=⋅0/εi iq s d E,由 ∑=⇒=00φq ,但场强则不一定为零,如上题。

(C )不一定,受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。

(D )曲面上场强由空间所有电荷产生,改变原因也可能在外部。

(E )只要通过闭曲面电通量为0,面内就可能无电荷。

8-2 如图所示,一半径为R的导体薄球壳,带电量为-Q1,在球壳的正上方距球心O距离为3R的B点放置一点电荷,带电量为+Q2。

令∞处电势为零,则薄球壳上电荷-Q1在球心处产生的电势等于___________,+Q2在球心处产生的电势等于__________,由叠加原理可得球心处的电势U0等于_____________;球壳上最高点A处的电势为_______________。

解:由电势叠加原理可得,球壳上电荷-Q1在O 点的电势为RQ U 0114πε-=点电荷Q2在球心的电势为RQ R Q U 020221234πεπε=⋅=所以,O 点的总电势为RQ Q U U U 012210123ε-=+=由于整个导体球壳为等势体,则0U U A =RQ Q 012123ε-=8-3 两带电金属球,一个是半径为2R的中空球,一个是半径为R的实心球,两球心间距离r(>>R),因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的,空心球电势为U1,实心球电势为U2,则空心球所带电量Q1=___________,实心球所带电Q2=___________。

若用导线将它们连接起来,则空心球所带电量为______________,两球电势为______________。

解:连接前,空心球电势RQ U 24011πε=,所以带电量为1051018RU Q πε=实心球电势RQ U 0224πε=,所以带电量为2024RU Q πε=连接后,两球电势相等,但总电量不变。

有U U U '='='21或 RQ 018πε'RQ 024πε'=2121''Q Q Q Q +=+联立解得+='1012(38U R Q πε2U ) 3221U U U +=' 8-4 一不带电的导体壳,壳内有一个点电荷0q ,壳外有点电荷1q 和2q 。

导体壳不接地,下列说法中正确的是(A 、B 、D );若导体壳接地,下列说法中正确的是(A 、B 、C 、D )。

(A)1q 与2q 的电量改变后,壳内场强分布不变。

(B)1q 与2q 在壳外的位置改变后,壳内的场强分布不变。

(C)0q 的电量改变后,壳外的场强分布不变。

(D)0q 在壳内的位置改变后,壳外的场强分布不变。

8-5 如图,半径为R的不带电的金属球内有两个球形空腔,在两个空腔中分别放点电荷1q 和2q ,在金属球外放一点电荷3q ,它们所带电荷均为q 。

若1q 和2q 到球心距离都是2/R ,3q 到球心距离R r >>,则1q 受力为_______,2q 受力为_________,3q 受力约为________。

解:1q 、2q 受力为0。

球为等势体,球外表面感应电荷均匀分布,电场在球外也呈径向对称分布。

由高斯定理球外场强为20214r q q E πε+=所以,3q 受力约为20220213424)(rq r q q q F πεπε=+= 8-6 半径分别为R1和R2(R1<R2 )互相绝缘的两个同心导体球壳,内球带电+Q。

取地球与无限远的电势均为零。

求(1)外球的电荷和电势。

106 (2)将外球接地后再重新绝缘,此时外球的电荷和电势。

(3)再将内球接地,此时内球的电荷。

解:(1)由于内球带电+Q,由静电平衡条件和高斯定理知,外球壳内表面带电Q -,外表面带电Q +。

因为外球壳外面的场强为204r Q E πε=(2R r >)所以,外球的电势为⎰⎰∞∞==⋅=22204R R dr rQ r d E U πε 204R Q πε(2)外球接地,内表面电量不变,外表面电量变为零,电势为零。

(3)将内球接地后,内球电势为零。

设内球电量变为q ,则0442010=-=R Q R q U πεπε Q R R q 21=8-7 在半径为R1的均匀带电Q的金属球外有一层相对介电常数为r ε均匀电介质,外半径为R2,画出电势U~r 关系曲线和场强E~r 关系曲线(r 是球心到场点之间的距离)。

解:利用高斯定理⎰=⋅=⋅sQ r D s d D 内自24π24rQ D π内自=由于E Dε=,且⎪⎩⎪⎨⎧><<<=22110R r Q R r R QR r Q 内自 所以,场强分布为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<=22021201440R r r Q R r R rQ R r E r πεεπε107下面求电势分布:2R r >时⎰⎰∞∞==⋅=Rrdr r Q r d E U 204πε rQ 04πε21R r R ≤<时⎰⎰⎰∞∞+=⋅=22202044R rR r rdr rQ dr r Q r d E U πεεπε20200444R QR QrQ r r πεεπεεπε+-=1R r ≤时⎰⎰⎰⎰∞∞++=⋅=21212020440R R R r R rrdrrQ dr r Q dr r d E U πεεπε 202010444R QR QR Q r r πεεπεεπε+-=U~r 曲线和E~r 曲线如图所示:8-8 如图,一无限大均匀带电介质平板A,电荷面密度为1σ,将介质板移近导体B后,B导体外表面上靠近P点处的电荷面密度为2σ,P点是B导体表面外靠近导体的一点,则P点的电场强度大小为__________________。

解:仅知P 点附近电荷面密度,其它地方不知,不能用场强叠加方法。

做如图所示的高斯面,其底面面积s 很小,可认为s 面上各点场强相等。

由于导体表面是等势面,所以s 面上各点场强垂直于导体表面。

P 点在底面上,另一底面在导体内部,面上各点场强为零。

由高斯定理,得02/εσs s E P = 02/εσ=P E8-9将一带电导体平板A和一电介质平面B平行放置,如图所示。

在真空中平衡后,108 A两侧的面电荷密度分别为1σ和2σ,则B的面电荷密度3σ等于___________。

解:在导体平板内任找一点P ,则02220030201321=--==--=εσεσεσE E E E P所以213σσσ-=8-10 半径为R、相对介电常数为r ε均匀电介质球中心放一点电荷Q,球外是真空,在距中心r>R的P点场强大小为__________。

解:利用高斯定理容易求得P点场强204rQ E πε=。

8-11 平行板电容器中充满某种均匀电介质,电容器与一个电源相连,然后将介质取 出,则电容器的电容量C、电量Q、电位移D 、电场强度E 、板间电压U与取出介质前相比,增大的有_______,减小的有__________,不变的有__________。

解:介质取出前,有d U E =d U E D εε== d s C ε= U ds Q ε= 介质取出后,有d UE =d U D 0ε= ds C 0ε= U d s Q 0ε= 所以,各量均无增大,减小的有C 、Q 、D ,不变有E 、U 。

8-12 一球形电容器由半径为R的导体球壳和与它同心的半径为4R的导体球壳所组成,R到2R为相对电容率为2=r ε的电介质,2R到4R为真空。

若将电容器两极板接在电压为U的电源上,求(1)电容器中场强的分布;(2)电容器的电容。

解:不妨先设内外球壳电量分别为Q Q -+、,由高斯定理容易求得场强分布 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<=Rr R rQ R r R r Q E r 424242020πεεπε电容器两极板之间的电压为⎰⎰⎰+=⋅=R R R R r R R dr r Q dr r Q r d E U 4220220444πεεπεR Q 08πε= 所以RU Q 08πε=109(1)电容器中场强的分布⎪⎩⎪⎨⎧><<<=Rr R rRU Rr R rRU E 422222(2)电容器的电容==UQC R 08πε 8-13 半径分别为R1和R2的同轴导体圆筒间充满相对电容率为r ε的均匀电介质。

现使圆筒带电,单位长度电荷各为+1λ(内筒)和+2λ(外筒),如图所示。

(1)求两筒间的电压;(2)设轴线上电势为零,分别求P点和Q点的电势。

(P和Q与轴分别相距P r 和Q r ) 解:(1)场强分布为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=2101120R r R rR r E r επελ两筒间电压⎰⎰==⋅=2121120101/ln 22R R rr R R R R dr r r d E U επελεπελ(2)设轴线上电势为零,则0=P U⎰⎰===-Q Qr R r R Q rr Q R R r dr r Edr U U 11110101/ln 22επελεπελ101/ln 2R r U Q rQ επελ-=8-14 将一空气平行板电容器与电源相连进行充电,使电容器储存能量W1。

若充电后断开电源,然后将相对介电常数为r ε的电介质充满该电容器,电容器储存的能量变为W2,则比值W1/W2=______________;如果充电后不断开电源,则比值W1/W2=______________。

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